미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 부채꼴 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정사각형 OA1B1C1\mathrm{OA} _{1} B _{1} C _{1}에서 ∠O\angle \mathrm{O}의 33등분선이 A1B1‾,B1C1‾\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{1} B _{1}} , \overline{\mathrm{B} _{1} C _{1}}과 만나는 점을 각각 P1,Q1\mathrm{P} _{1} , Q _{1}이라 하자. 점 O\mathrm{O}가 중심이고 OP1‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP} _{1}}을 반지름으로 하는 부채꼴 OP1Q1\mathrm{OP} _{1} Q _{1}을 그린다. [그림11]에서 도형 B1Q1P1\mathrm{B} _{1} Q _{1} P _{1}의 넓이를 S1S _{1}이라 하자. 호 P1Q1\mathrm{P} _{1} Q _{1}의 중점 B2\mathrm{B} _{2}, OA1‾\displaystyle \overline{\mathrm{OA} _{1}} // C2B2‾\displaystyle \overline{\mathrm{C} _{2} B _{2}}인 OC1‾\displaystyle \overline{\mathrm{O} C _{1}} 위의 점 C2\mathrm{C} _{2}, OC1‾\displaystyle \overline{\mathrm{O} C _{1}} // A2B2‾\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}}인 OA1‾\displaystyle \overline{\mathrm{O} A _{1}} 위의 점 A2\mathrm{A} _{2}, 점 O\mathrm{O}를 꼭지점으로 하는 정사각형 OA2B2C2\mathrm{OA} _{2} B _{2} C _{2}를 그린다. OP1‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP} _{1}}과 A2B2‾\displaystyle \overline{\mathrm{A} _{2} B _{2}}가 만나는 점을 P2\mathrm{P} _{2}, OQ1‾\displaystyle \overline{\mathrm{OQ} _{1}}과 B2C2‾\displaystyle \overline{\mathrm{B} _{2} C _{2}}가 만나는 점을 Q2\mathrm{Q} _{2}라 하자. 점 O\mathrm{O}가 중심이고 OP2‾\displaystyle \overline{\mathrm{OP} _{2}}를 반지름으로 하는 부채꼴 OP2Q2\mathrm{OP} _{2} Q _{2}를 그린다. [그림22]에서 도형 B2Q2P2\mathrm{B} _{2} Q _{2} P _{2}의 넓이를 S2S _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속할 때, ∑n=1∞Sn\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} S _{n}의 합은? [4점]

[그림1] [그림2] [그림3] ①−3+π- 3 + \pi②4−π4 - \pi③3−π3\displaystyle \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}④3−3−π3\displaystyle 3 - \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}⑤4−3−π2\displaystyle 4 - \sqrt{3} - \frac{\pi}{2}

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④

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해설

S1=1−12×1×13×2−12(23)2×π6\displaystyle S _{1} = 1 - \frac{1}{2} \times 1 \times \frac{1}{\sqrt{3}} \times 2 - \frac{1}{2} \left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) ^{2} \times \frac{\pi}{6} =1−33−π9\displaystyle = 1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{9} r=(정사각형OA2B2C2대각선)2(정사각형OA1B1C1대각선)2=(23)2(2)2=23\displaystyle r = \frac{( \text{정사각형} OA _{2} B _{2} C _{2} \text{대각선} ) ^{2}}{( \text{정사각형} OA _{1} B _{1} C _{1} \text{대각선} ) ^{2}} = \frac{\left( \frac{2}{\sqrt{3}} \right) ^{2}}{( \sqrt{2} ) ^{2}} = \frac{2}{3} ∑n=1∞sn=S11−r=1−33−π91−23\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} s _{n} = \frac{S _{1}}{1 - r} = \frac{1 - \frac{\sqrt{3}}{3} - \frac{\pi}{9}}{1 - \frac{2}{3}}=3−3−π3\displaystyle = 3 - \sqrt{3} - \frac{\pi}{3}

태그

#무한등비급수#도형

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