미적분Ⅱ급수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정사각형 부채꼴 도형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 22인 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}에서 중심을 B1\mathrm{B} _{1}, 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}을 반지름으로 하고 중심각의 크기가 90∘90 ^\circ인 부채꼴 B1C1A1\mathrm{B} _{1} C _{1} A _{1}을 그린다. 부채꼴 B1C1A1\mathrm{B} _{1} C _{1} A _{1}의 호 C1A1\mathrm{C} _{1} A _{1}을 삼등분하는 두 점을 각각 E1\mathrm{E} _{1}, F1\mathrm{F} _{1}이라 하고, 선분 B1E1\mathrm{B} _{1} E _{1}을 그린다. 점 F1\mathrm{F} _{1}을 한 꼭짓점으로 하고 부채꼴 B1E1A1\mathrm{B} _{1} E _{1} A _{1}에 내접하는 정삼각형에 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 점 D1\mathrm{D} _{1}과 부채꼴 B1C1A1\mathrm{B} _{1} C _{1} A _{1}의 호 C1A1\mathrm{C} _{1} A _{1}을 이등분하는 점 B2\mathrm{B} _{2}를 대각선의 양 끝점으로 하는 정사각형 A2B2C2D1\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{1}을 그리고, 정사각형 A2B2C2D1\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{1}에 그림 R1R _{1}을 얻은 것과 같은 방법으로 만들어지는 정삼각형에 색칠하여 얻은 그림을 R2R _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? (단, ∠AnBnEn=60∘\mathrm{\angle} A _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} E _{\mathit{n}} = 60 ^\circ) [4점]

B1\mathrm{B} _{1} C1\mathrm{C} _{1} D1\mathrm{D} _{1} A1\mathrm{A} _{1} E1\mathrm{E} _{1} F1\mathrm{F} _{1}B2\mathrm{B} _{2} C2\mathrm{C} _{2} D1\mathrm{D} _{1} A2\mathrm{A} _{2} E2\mathrm{E} _{2} A1\mathrm{A} _{1} B1\mathrm{B} _{1} C1\mathrm{C} _{1} F2\mathrm{F} _{2}
R1R _{1}R2R _{2}
⋯\cdots
R3R _{3}⋯\cdots

①36+2321\displaystyle \frac{3 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{21}②46+2321\displaystyle \frac{4 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{21}③46+3321\displaystyle \frac{4 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3}}{21}④56+2321\displaystyle \frac{5 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{21}⑤56+3321\displaystyle \frac{5 \sqrt{6} + 3 \sqrt{3}}{21}

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②

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해설

[출제의도] 등비급수를 활용하여 수학 내적 문제 해결하기

부채꼴 B1E1A1\mathrm{B} _{1} E _{1} A _{1}에 내접하는 정삼각형의 꼭짓점 중 F1\mathrm{F} _{1}이 아닌 나머지 두 점을 각각 P,Q\mathrm{P} , Q라 하자. 점 F1\mathrm{F} _{1}에서 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}, 선분 B1E1\mathrm{B} _{1} E _{1}에 내린 수선의 발을 각각 S,T\mathrm{S} , T라 하자. 삼각형 B1F1S\mathrm{B} _{1} F _{1} S와 삼각형 B1F1T\mathrm{B} _{1} F _{1} T는 합동이므로 삼각형 F1SP\mathrm{F} _{1} SP와 삼각형 F1TQ\mathrm{F} _{1} TQ는 합동이다. B1P‾=B1Q‾\displaystyle \mathrm{\overline{B _{1} P}} = \overline{B _{1} Q}이고 삼각형 B1QP\mathrm{B} _{1} QP는 정삼각형이다. F1P‾×32=12B1F1‾=1\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} P}} \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{1}{2} \overline{B _{1} F _{1}} = 1 F1P‾=23\displaystyle \mathrm{\overline{F _{1} P}} = \frac{2}{\sqrt{3}}이므로 S1=33\displaystyle S _{1} = \frac{\sqrt{3}}{3}

An\mathrm{A} _{\mathit{n}} Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}} Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}} An+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} Bn+1\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} Cn+1\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1}

그림 Rn(n≥1)R _{n} \left( n \geq 1 \right)을 얻을 때, 정사각형 AnBnCnD1\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{1}의 한 변의 길이를 ana _{n}이라 하고 새로 그려진 정삼각형의 넓이를 TnT _{n}이라 하자. BnD1‾=2an\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} D _{1}}} = \sqrt{2} a _{n}, Bn+1D1‾=2an−an=(2−1)an\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} D _{1}}} = \sqrt{2} a _{n} - a _{n} = \left( \sqrt{2} - 1 \right) a _{n} 정사각형 AnBnCnD1\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{1}과 정사각형 An+1Bn+1Cn+1D1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1} C _{\mathit{n} + 1} D _{1}이 닮음이므로 an:an+1=BnD1‾:Bn+1D1‾\displaystyle a _{n} : a _{n+1} = \overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} D _{1}} : \overline{\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} D _{1}}=2:2−1\displaystyle = \sqrt{2} : \sqrt{2} - 1 Tn:Tn+1=2:(2−1)2\displaystyle T _{n} : T _{n + 1} = 2 : \left( \sqrt{2} - 1 \right) ^{2} Tn+1=3−222Tn\displaystyle T _{n + 1} = \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2} T _{n}이고 lim⁡n→∞Sn=lim⁡n→∞∑k=1nTk\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \lim\limits _{n\rightarrow \infty} {\sum\limits _{k=1} ^{n} T _{k}}=331−(3−222)=46+2321\displaystyle = \frac{\frac{\sqrt{3}}{3}}{1 - \left( \frac{3 - 2 \sqrt{2}}{2} \right)} = \frac{4 \sqrt{6} + 2 \sqrt{3}}{21}

태그

#등비급수#도형

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