미적분Ⅱ급수수능 기출킬러 문제 (22·30번 수준)

정사각형 반복 도형 급수

문제

한 변의 길이가 33인 정사각형 A1B1C1D1\mathrm{A} _{1} B _{1} C _{1} D _{1}이 있다. 그림과 같이 선분 A1B1\mathrm{A} _{1} B _{1}과 선분 D1C1\mathrm{D} _{1} C _{1}을 2:12 : 1로 내분하는 점을 각각 P1,Q1\mathrm{P} _{1} , Q _{1}이라 하고 선분 P1C1\mathrm{P} _{1} C _{1}과 선분 Q1B1\mathrm{Q} _{1} B _{1}의 교점을 R1\mathrm{R} _{1}이라 할 때, 선분 P1B1\mathrm{P} _{1} B _{1}, 선분 B1C1\mathrm{B} _{1} C _{1}, 선분 C1Q1\mathrm{C} _{1} Q _{1}, 선분 Q1R1\mathrm{Q} _{1} R _{1}, 선분 R1P1\mathrm{R} _{1} P _{1}로 둘러싸인 부분인 모양에 색칠하여 얻은 그림을 T1T _{1}이라 하자. 그림 T1T _{1}에 선분 P1R1\mathrm{P} _{1} R _{1} 위의 점 B2\mathrm{B} _{2}, 선분 R1Q1\mathrm{R} _{1} Q _{1} 위의 점 C2\mathrm{C} _{2}와 선분 A1D1\mathrm{A} _{1} D _{1} 위의 두 점 A2\mathrm{A} _{2}, D2\mathrm{D} _{2}를 꼭짓점으로 하는 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}를 그리고, 정사각형 A2B2C2D2\mathrm{A} _{2} B _{2} C _{2} D _{2}에 그림 T1T _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 만들어지는 모양에 색칠하여 얻은 그림을 T2T _{2}라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 TnT _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}}의 값은? [4점]

⋯\cdots ⋯\cdots

①13132\displaystyle \frac{131}{32}②13532\displaystyle \frac{135}{32}③13932\displaystyle \frac{139}{32}④14332\displaystyle \frac{143}{32}⑤14732\displaystyle \frac{147}{32}

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⑤

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해설

[출제의도] 등비급수를 이용하여 수학 내적 문제 해결하기 S1S _{1}은 삼각형 P1B1R1\mathrm{P} _{1} B _{1} R _{1}의 넓이와 삼각형 B1C1Q1\mathrm{B} _{1} C _{1} Q _{1}의 넓이의 합이므로 S1=34+32=94\displaystyle S _{1} = \frac{3}{4} + \frac{3}{2} = \frac{9}{4} 선분 BnCn\mathrm{B} _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}}의 중점을 Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}}이라 하고 정사각형 AnBnCnDn\mathrm{A} _{\mathit{n}} B _{\mathit{n}} C _{\mathit{n}} D _{\mathit{n}}의 한 변의 길이를 ana _{n}이라 하자.

ana _{\mathit{n}} An\mathrm{A} _{\mathit{n}} An+1\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} Dn+1\mathrm{D} _{\mathit{n} + 1} Dn\mathrm{D} _{\mathit{n}} an+1a _{\mathit{n} + 1} Mn+1\mathrm{M} _{\mathit{n} + 1} Bn+1\mathrm{B} _{\mathit{n} + 1} Cn+1\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} Rn\mathrm{R} _{\mathit{n}} Bn\mathrm{B} _{\mathit{n}} Cn\mathrm{C} _{\mathit{n}} 12an+1\displaystyle \frac{1}{2} a _{\mathit{n} + 1} 16an+1\displaystyle \frac{1}{6} a _{\mathit{n} + 1} 16an\displaystyle \frac{1}{6} a _{\mathit{n}} ana _{\mathit{n}} Mn\mathrm{M} _{\mathit{n}}

삼각형 RnBnMn\mathrm{R} _{\mathit{n}} \mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{M} _{\mathit{n}}과 삼각형 RnCn+1Mn+1\mathrm{R} _{\mathit{n}} C \mathrm{_{\mathit{n} + 1}} M _{\mathit{n} + 1}은 닮음이므로 BnMn‾:RnMn‾=Cn+1Mn+1‾:RnMn+1‾\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{M} _{\mathit{n}}}} : {\overline{\mathrm{R} _{\mathit{n}} \mathrm{M} _{\mathit{n}}}} = {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{M} _{\mathit{n} + 1}}} : {\overline{\mathrm{R} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n} + 1}}}=3:1= 3 : 1 BnMn‾=12an\displaystyle {\overline{\mathrm{B} _{\mathit{n}} \mathrm{M} _{\mathit{n}}}} = \frac{1}{2} a _{n}, RnMn‾=16an\displaystyle {\overline{\mathrm{R} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n}}}} = \frac{1}{6} a _{n} Cn+1Mn+1‾=12an+1\displaystyle {\overline{\mathrm{C} _{\mathit{n} + 1} \mathrm{M} _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{1}{2} a _{n + 1}, RnMn+1‾=16an+1\displaystyle {\overline{\mathrm{R} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n} + 1}}} = \frac{1}{6} a _{n + 1} AnBn‾=An+1Bn+1‾+RnMn+1‾+RnMn‾\displaystyle {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n}} B \mathrm{_{\mathit{n}}}}} = {\overline{\mathrm{A} _{\mathit{n} + 1} B _{\mathit{n} + 1}}} + {\overline{\mathrm{R} _{\mathit{n}} M _{\mathit{n} + 1}}} + {\overline{\mathrm{R} _{\mathit{n}} \mathrm{M} _{\mathit{n}}}} an=an+1+16an+1+16an\displaystyle a _{n} = a _{n + 1} + \frac{1}{6} a _{n + 1} + \frac{1}{6} a _{n} 그러므로 an+1=57an\displaystyle a _{n + 1} = \frac{5}{7} a _{n} 따라서 lim⁡n→∞Sn=941−(57)2=14732\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{\frac{9}{4}}{1 - \left( \frac{5}{7} \right) ^{2}} = \frac{147}{32}

태그

#등비급수#도형#닮음비

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