미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정팔각형 도형 급수

문제

그림과 같이 한 변의 길이가 11인 정팔각형의 이웃한 두 변을 변으로 하는 44개의 평행사변형을 서로 겹치지 않게 그리고, 이 평행사변형 44개를 색칠하여 얻은 그림을 R1R _{1}이라 하자. 그림 R1R _{1}에 정팔각형의 내부에 있는 평행사변형의 꼭짓점 44개를 꼭짓점으로 포함하는 정팔각형을 그린 후, 새로 그려진 정팔각형에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 44개의 평행사변형을 그리고 색칠하여 얻는 그림을 R2R _{2}라 하자. 그림 R2R _{2}에 가장 작은 정팔각형의 내부에 있는 평행사변형의 꼭짓점 44개를 꼭짓점으로 포함하는 정팔각형을 그린 후, 새로 그려진 정팔각형에 그림 R1R _{1}을 얻는 것과 같은 방법으로 44개의 평행사변형을 그리고 색칠하여 얻는 그림을 R3R _{3}이라 하자. 이와 같은 과정을 계속하여 nn번째 얻은 그림 RnR _{n}에 색칠되어 있는 부분의 넓이를 SnS _{n}이라 할 때, lim⁡n→∞Sn\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} S _{n}의 값은? [4점]

①2+2\displaystyle 2 + \sqrt{2}②1+22\displaystyle 1 + 2 \sqrt{2}③3+2\displaystyle 3 + \sqrt{2}④1+32\displaystyle 1 + 3 \sqrt{2}⑤4+2\displaystyle 4 + \sqrt{2}

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

l2l1=1+1−21+1+2\displaystyle \frac{l _{2}}{l _{1}} = \sqrt{\frac{1 + 1 - \sqrt{2}}{1 + 1 + \sqrt{2}}}이므로 넓이의 비는 2−22+2\displaystyle \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}이다. R1R _{1}에서 마름모 한 개의 넓이는 1×1×sin⁡45∘=22\displaystyle 1 \times 1 \times \sin 45 ^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}이므로 S1=22\displaystyle S _{1} = 2 \sqrt{2} ∴lim⁡n→∞Sn=221−2−22+2=2+2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {S _{n}} = \frac{2 \sqrt{2}}{1 - \frac{2 - \sqrt{2}}{2 + \sqrt{2}}} = 2 + \sqrt{2}

태그

#등비급수#도형

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 급수 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로