정적분으로 정의된 삼차함수

[출제의도] 함수의 그래프를 이해하고 명제의 참, 거짓을 판단할 수 있는가? ㄱ. $x < 0$일 때 $g' \left( x \right)$$= \mathit{-} f \left( x \right)$ $x \geq 0$일 때 $g' \left( x \right)$$= f \left( x \right)$ 그런데 함수 $g \left( x \right)$는 $x$$= 0$에서 미분가능하고 함수 $f \left( x \right)$는 실수 전체의 집합에서 연속이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} \left\{ - f \left( x \right) \right\}$$\displaystyle = \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f \left( x \right)$ $- f \left( 0 \right)$$= f \left( 0 \right)$, $2 f \left( 0 \right)$$= 0$ $f \left( 0 \right)$$= 0$ (참) ㄴ. $g \left( 0 \right)$$\displaystyle = \int _{0} ^{0} {} f \left( t \right) dt$$= 0$이고 함수 $g \left( x \right)$는 삼차함수이므로 $g \left( x \right)$$= x ^{2} \left( x - a \right)$ (단, $a$는 상수) 로 놓으면 $g' \left( x \right)$$= 2 x \left( x - a \right) + x ^{2}$$= x \left( 3 x - 2 a \right)$ (ⅰ) $a > 0$일 때 $f \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} - x \left( 3 x - 2 a \right) & \left( x < 0 \right) \\ \begin{aligned} \\ x \left( 3 x - 2 a \right) \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( x \geq 0 \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이므로 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같고 $x$$= 0$에서 극댓값을 갖는다.

(ⅱ) $a < 0$일 때 $f \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} - x \left( 3 x - 2 a \right) & \left( x < 0 \right) \\ \begin{aligned} \\ x \left( 3 x - 2 a \right) \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( x \geq 0 \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이므로 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프는 그림과 같고 $x$$\displaystyle = \frac{a}{3}$에서 극댓값을 갖는다.

(ⅲ) $a$$= 0$일 때 $f \left( x \right)$$\displaystyle = {\begin{cases} - 3 x ^{2} & \left( x < 0 \right) \\ \begin{aligned} \\ 3 x ^{2} \end{aligned} & \begin{aligned} \\ \left( x \geq 0 \right) \end{aligned} \end{cases}}$ 이므로 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프는 극댓값이 존재하지 않는다.

(거짓) ㄷ. (ⅰ) ㄴ. (ⅰ)인 경우 $f \left( 1 \right)$$= 3 - 2 a$이므로 $2 < 3 - 2 a < 4$에서 $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{2}$ 또한, $x < 0$일 때 $f' \left( x \right)$$= \mathit{-} \left( 3 x - 2 a \right) - 3 x$$= \mathit{-} 6 x + 2 a$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 -} {} f' \left( x \right)$$= 2 a$ 이때 $0 < 2 a < 1$이므로 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y$$= x$는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서 $2 < f \left( 1 \right) < 4$일 때, 방정식 $f \left( x \right)$$= x$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다. (ⅱ) ㄴ. (ⅱ)인 경우 $f \left( 1 \right)$$= 3 - 2 a$이므로 $2 < 3 - 2 a < 4$에서 $\displaystyle - \frac{1}{2} < a < 0$ 또한, $x > 0$일 때 $f' \left( x \right)$$= \left( 3 x - 2 a \right) + 3 x$$= 6 x - 2 a$ 이므로 $\displaystyle \lim\limits _{x \rightarrow 0 +} {} f' \left( x \right)$$= \mathit{-} 2 a$ 이때 $0 < \mathit{-} 2 a < 1$이므로 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y$$= x$는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서 $2 < f \left( 1 \right) < 4$일 때, 방정식 $f \left( x \right)$$= x$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다. (ⅲ) ㄴ. (ⅲ)인 경우 $f \left( 1 \right)$$= 3$이고 함수 $y$$= f \left( x \right)$의 그래프와 직선 $y$$= x$는 그림과 같이 세 점에서 만난다.

따라서 $2 < f \left( 1 \right) < 4$일 때, 방정식 $f \left( x \right)$$= x$의 서로 다른 실근의 개수는 $3$이다. (참) 이상에서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 수학교실 다른 풀이

ㄷ. (ⅰ) ㄴ. (ⅰ)인 경우 $\displaystyle 0 < a < \frac{1}{2}$이고 ① $x < 0$일 때, $- x \left( 3 x - 2 a \right)$$= x$ $- 3 x + 2 a$$= 1$, $x$$\displaystyle = \frac{2 a - 1}{3}$ ② $x \geq 0$일 때, $x \left( 3 x - 2 a \right)$$= x$ $x \left( 3 x - 2 a - 1 \right)$$= 0$ $x$$= 0$ 또는 $x$$\displaystyle = \frac{2 a + 1}{3}$ 따라서 $2 < f \left( 1 \right) < 4$일 때, 방정식 $f \left( x \right)$$= x$은 서로 다른 실근 $\displaystyle \frac{2 a - 1}{3}$, $0$, $\displaystyle \frac{2 a + 1}{3}$을 갖는다.