미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분으로 정의된 항등식에서 다항함수 구하기

문제

다항함수 f(x)f ( x )가 모든 실수 xx에 대하여 ∫0x(x−t)2f′(t)dt=34x4−2x3\displaystyle \int _{0} ^{x} ( x - t ) ^{2} f' ( t ) dt = \frac{3}{4} x ^{4} - 2 x ^{3} 을 만족한다. f(0)=1f ( 0 ) = 1일 때, ∫01f(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) dx의 값은? [4점] ①11②22③33④−12\displaystyle - \frac{1}{2}⑤−13\displaystyle - \frac{1}{3}

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④

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해설

∫0x(x−t)2f′(t)dt\displaystyle \int _{0} ^{x} ( x - t ) ^{2} f' ( t ) dt =x2∫0xf′(t)dt−2x∫0xtf′(t)dt+∫0xt2f′(t)dt\displaystyle = x ^{2} \int _{0} ^{x} f' ( t ) dt - 2 x \int _{0} ^{x} t f' ( t ) dt + \int _{0} ^{x} t ^{2} f' ( t ) dt =34x4−2x3\displaystyle = \frac{3}{4} x ^{4} - 2 x ^{3} 양변을 xx에 대하여 미분하기를 거듭하면 2∫0xf′(t)dt=9x2−12x\displaystyle 2 \int _{0} ^{x} f' ( t ) dt = 9 x ^{2} - 12 x, 2(f(x)−f(0))=9x2−12x2 ( f ( x ) - f ( 0 ) ) = 9 x ^{2} - 12 x f(x)=92x2−6x+1\displaystyle f ( x ) = \frac{9}{2} x ^{2} - 6 x + 1 ∴\therefore ∫01f(x)dx=\displaystyle \int _{0} ^{1} f ( x ) dx =[32x3−3x2+x]01\displaystyle \left[ \frac{3}{2} x ^{3} - 3 x ^{2} + x \right] _{0} ^{1}=−12\displaystyle = - \frac{1}{2}

태그

#정적분으로 정의된 함수#미분과 적분의 관계

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