정적분으로 정의된 함수식 미분하기

주어진 식은 임의의 실수 $x$에 관하여 성립하므로 $x$에 $1$을 대입하여 정리하면 $a + b = 2 \cdots ( 1 )$ 또한, 주어진 식의 양변을 $x$에 관하여 미분하면 $\displaystyle xf ( x ) - xf ( x ) - \int _{1} ^{x} {f ( t ) dt} = 3 x ^{2} - 6 x + a$ 이므로 $\displaystyle \int _{1} ^{x} {f ( t ) dt} = - 3 x ^{2} + 6 x - a \cdots ( 2 )$ 식 (2)를 다시 $x$에 관하여 미분하면 $f ( x ) = - 6 x + 6$ 식 (2)에 $x = 1$을 대입하여 정리하면 $3 - a = 0$, $a = 3$ 식 (1)로부터 $b = - 1$이다. 따라서, 구하는 식의 값은 $\displaystyle 10 + \int _{0} ^{1} {- 6 x + 6 dx} = 13$