미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정적분으로 정의된 함수

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 모든 실수 xx에 대하여 ∫0x{f(t)+t2}dt=xf(x)−x3\displaystyle \int _{0} ^{x} \left\{ f \left( t \right) + t ^{2} \right\} dt = xf \left( x \right) - x ^{3} 을 만족시킬 때, ∫04f′(x)dx\displaystyle \int _{0} ^{4} f' \left( x \right) dx의 값을 구하시오. [3점]

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32

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해설

∫0x{f(t)+t2}dt=xf(x)−x3\displaystyle \int _{0} ^{x} \left\{ f \left( t \right) + t ^{2} \right\} dt = xf \left( x \right) - x ^{3} ⋯\cdots⋯\cdots ㉠ ㉠의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)+x2=f(x)+xf′(x)−3x2f \left( x \right) + x ^{2} = f \left( x \right) + xf' \left( x \right) - 3 x ^{2} xf′(x)=4x2xf' \left( x \right) = 4 x ^{2} 다항함수 f(x)f \left( x \right)의 도함수 f′(x)f' \left( x \right)도 다항함수이므로 f′(x)=4xf' \left( x \right) = 4 x 따라서 ∫04f′(x)dx=∫044xdx=[2x2]04=32\displaystyle \int _{0} ^{4} f' \left( x \right) dx = \int _{0} ^{4} 4 x dx = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} 2 x ^{2} \end{array} \right] _{0} ^{4} = 32

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#정적분으로 정의된 함수

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