미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정적분으로 정의된 함수

문제

양의 실수 전체의 집합에서 연속인 함수 f(x)f ( x )가 ∫1xf(t)dt=x2−ax(x>0)\displaystyle \int _{1} ^{x} {f \left( t \right)} dt = x ^{2} - a \sqrt{x} \left( x > 0 \right) 을 만족시킬 때, f(1)f \left( 1 \right)의 값은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①11②32\displaystyle \frac{3}{2}③22④52\displaystyle \frac{5}{2}⑤33

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②

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해설

g(x)=∫1xf(t)dt=x2−ax\displaystyle g ( x ) = \int _{1} ^{x} f ( t ) dt = x ^{2} - a \sqrt{x}라 하자. g(1)=0=1−ag ( 1 ) = 0 = 1 - a이므로 a=1a = 1이다. g′(x)=f(x)=2x−a2x\displaystyle g' ( x ) = f ( x ) = 2 x - \frac{a}{2 \sqrt{x}}이므로 f(1)=2−a2×1=2−12=32\displaystyle f ( 1 ) = 2 - \frac{a}{2 \times 1} = 2 - \frac{1}{2} = \frac{3}{2}이다.

태그

#정적분과 미분#무리함수

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