정적분 포함 함수

[출제의도] 정적분의 성질을 이해하여 정적분의 값을 구한다. 정적분의 성질에 의해 $x$$= 12$를 대입하면 $\displaystyle \int _{12} ^{12} {f ( t ) dt}$$= 0$이므로 $\displaystyle - 12 ^{3} + 12 ^{2} + \int _{0} ^{1} {12 f ( t ) dt}$$= 0$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}$$= 132$ [다른 풀이] $\displaystyle \int _{12} ^{x} {f ( t ) dt}$$\displaystyle = - x ^{3} + x ^{2} + \int _{0} ^{1} {xf ( t ) dt}$ $\displaystyle = - x ^{3} + x ^{2} + x \int _{0} ^{1} {f ( t ) dt}$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( t ) dt} = c$라 하고 위 등식의 양변을 $x$에 관하여 미분하면 $f ( x )$$= - 3 x ^{2} + 2 x + c$ $\displaystyle \int _{12} ^{x} {f ( t ) dt}$$\displaystyle = - x ^{3} + x ^{2} + \int _{0} ^{1} {xf ( t ) dt}$에 대입하면 $\displaystyle \int _{12} ^{x} \left( {- 3 t ^{2} + 2 t + c ) dt} \right.$$= \left[ - t ^{3} + t ^{2} + c t \right] _{12} ^{x}$$= - x ^{3} + x ^{2} + cx - 12 ( - 132 + c )$$= - x ^{3} + x ^{2} + cx$ 즉, $- 132 + c$$= 0$ 따라서 $\displaystyle \int _{0} ^{1} {f ( x ) dx}$$= 132$