미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정적분 포함 함수

문제

실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 f(x)f ( x )가 f(0)=−4f ( 0 ) = - 4, f(x)=asin⁡x+∫0πtf′(t)dt\displaystyle f ( x ) = a \sin x + \int _{0} ^{\pi} {} t f' ( t ) dt 를 만족시킬 때, 상수 aa의 값은? [3점] ①-2②0③2④4⑤6

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③

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해설

[출제의도] 이해능력-적분법 ∫0πtf′(t)dt=k\displaystyle \int _{0} ^{\pi} {} t f' ( t ) dt = k(kk는 실수)라 놓으면 f(x)=asin⁡x+kf ( x ) = a \sin x + k이고, f′(x)=acos⁡xf' ( x ) = a \cos x ∫0πtf′(t)dt=∫0π(t×acos⁡t)dt\displaystyle \int _{0} ^{\pi} {} t f' ( t ) dt = \int _{0} ^{\pi} {} ( t \times a \cos t ) dt =a([tsin⁡t]0π−∫0πsin⁡tdt)\displaystyle = a \left( \left[ t \sin t \right] _{0} ^{\pi} - \int _{0} ^{\pi} {} \sin t dt \right) =a(0−[−cos⁡t]0π)= a \left( 0 - \left[ - \cos t \right] _{0} ^{\pi} \right) =a×(−1−1)=−2a= a \times ( - 1 - 1 ) = - 2 a 따라서 f(x)=asin⁡x−2af ( x ) = a \sin x - 2 a이고 조건에서 f(0)=−4f ( 0 ) = - 4 이므로 −2a=−4- 2 a = - 4 따라서 a=2a = 2

태그

#부분적분법#정적분으로 정의된 함수

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