정적분 포함 등식

$\displaystyle xf \left( x \right) - f \left( x \right) = x ^{2} + x \int _{0} ^{a} {} f \left( t \right) dt + \frac{3}{2} a$에서 $\displaystyle \int _{0} ^{a} {} f \left( t \right) dt = k$ ($k$는 상수)라 하면 $\displaystyle \left( x - 1 \right) f \left( x \right) = x ^{2} + k x + \frac{3}{2} a$ $f \left( x \right)$는 다항함수이므로 다항식 $\displaystyle x ^{2} + k x + \frac{3}{2} a$는 $x - 1$을 인수로 가져야 한다. $\displaystyle 1 + k + \frac{3}{2} a = 0$, $\displaystyle k = - 1 - \frac{3}{2} a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ $f \left( x \right)$$\displaystyle = \frac{x ^{2} + k x + \frac{3}{2} a}{x - 1} = \frac{x ^{2} + \left( - 1 - \frac{3}{2} a \right) x + \frac{3}{2} a}{x - 1}$ $\displaystyle = \frac{\left( x - 1 \right) \left( x - \frac{3}{2} a \right)}{x - 1} = x - \frac{3}{2} a$ $\displaystyle k = \int _{0} ^{a} {} f \left( t \right) dt$이므로 $k$$\displaystyle = \int _{0} ^{a} {} \left( t - \frac{3}{2} a \right) dt = \left[ \begin{array}{l} \begin{matrix} \\ \end{matrix} \frac{1}{2} t ^{2} - \frac{3}{2} at \end{array} \right] _{0} ^{a}$ $\displaystyle = \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{3}{2} a ^{2} = - a ^{2}$ $\cdots$$\cdots$ ㉡ ㉠, ㉡에서 $\displaystyle - a ^{2} = - 1 - \frac{3}{2} a$, $\displaystyle a ^{2} - \frac{3}{2} a - 1 = 0$ $2 a ^{2} - 3 a - 2 = 0$, $\left( 2 a + 1 \right) \left( a - 2 \right) = 0$ $a > 0$이므로 $a = 2$ 따라서 $\displaystyle f \left( x \right) = x - \frac{3}{2} \times 2 = x - 3$이므로 $f \left( 10 \right) = 10 - 3 = 7$ [다른 풀이] 모든 실수 $x$에 대하여 $\displaystyle xf \left( x \right) - f \left( x \right) = x ^{2} + x \int _{0} ^{a} {} f \left( t \right) dt + \frac{3}{2} a$ $\cdots$$\cdots$ ㉠ 가 성립한다. 따라서 다항함수 $f \left( x \right)$는 최고차항의 계수가 $1$인 일차함수이다. $f \left( x \right) = x + k$ ($k$는 상수)라 하면 $xf \left( x \right) - f \left( x \right) = x \left( x + k \right) - \left( x + k \right) = x ^{2} + \left( k - 1 \right) x - k$ 이므로 ㉠에서 $\displaystyle x ^{2} + \left( k - 1 \right) x - k = x ^{2} + x \int _{0} ^{a} {} f \left( t \right) dt + \frac{3}{2} a$ 계수를 비교하면 $\displaystyle k - 1 = \int _{0} ^{a} f \left( t \right) dt$, $\displaystyle - k = \frac{3}{2} a$ $\displaystyle \int _{0} ^{a} f \left( t \right) dt = \int _{0} ^{a} \left( t + k \right) dt = \left[ \frac{1}{2} t ^{2} + kt \right] _{0} ^{a} = \frac{1}{2} a ^{2} + ka$이므로 $\displaystyle k - 1 = \frac{1}{2} a ^{2} + ka$ $\displaystyle k = - \frac{3}{2} a$를 대입하면 $\displaystyle - \frac{3}{2} {a} - 1 = \frac{1}{2} a ^{2} - \frac{3}{2} a ^{2}$, $2 a ^{2} - 3 a - 2 = 0$ $\left( a - 2 \right) \left( 2 a + 1 \right) = 0$ $a > 0$이므로 $a = 2$, $k = - 3$ 따라서 $f \left( x \right) = x - 3$이므로 $f \left( 10 \right) = 7$