미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정적분 정의 함수

문제

다항함수 f(x)f \left( x \right)가 모든 실수 xx에 대하여 ∫axf(t)dt=x2−3ax+2\displaystyle \int _{a} ^{x} f \left( t \right) dt = x ^{2} - 3 ax + 2 를 만족시킨다. f(0)>0f \left( 0 \right) > 0일 때, f(2)f \left( 2 \right)의 값은? (단, aa는 상수이다.) [3점] ①33②44③55④66⑤77

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해설

∫axf(t)dt=x2−3ax+2\displaystyle \int _{a} ^{x} f \left( t \right) dt = x ^{2} - 3 ax + 2의 양변을 xx에 대하여 미분하면 f(x)=2x−3af \left( x \right) = 2 x - 3 a f(0)=−3a>0f \left( 0 \right) = - 3 a > 0에서 a<0a < 0 ∫axf(t)dt=x2−3ax+2\displaystyle \int _{a} ^{x} f \left( t \right) dt = x ^{2} - 3 ax + 2의 양변에 x=ax = a를 대입하면 0=a2−3a2+20 = a ^{2} - 3 a ^{2} + 2에서 a2=1a ^{2} = 1 a=−1a = - 1이므로 f(x)=2x+3f \left( x \right) = 2 x + 3 따라서 f(2)=7f \left( 2 \right) = 7

태그

#정적분으로 정의된 함수

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