정적분 함수의 극솟값

[출제의도] 정적분으로 나타내어진 함수의 특성을 파악할 수 있는가? 함수 $y = f \left( x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

한편, 함수 $y = \cos \left( \pi x \right)$의 주기는 $\displaystyle \frac{2 \pi}{\pi} = 2$이므로 홀수 $k$에 대하여 함수 $y = \cos \left( \pi x \right)$의 그래프는 다음과 같다.

한편, $x < t - 1$ 또는 $x > t + 1$일 때 $f \left( x \right) = 0$이므로 닫힌 구간 $\left[ a , b \right]$가 $( - \infty , t - 1 ]$에 포함되거나 $[ t + 1 , \infty )$에 포함되면 $\displaystyle \int _{a} ^{b} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx} = 0$ 이다. 따라서 $t$의 값을 증가시키면서 함수 $g \left( t \right)$를 구하면 다음과 같다. (ⅰ) $t + 1 \leq k$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {0 \times \cos \left( \pi x \right) dx} = 0$ (ⅱ) $t - 1 \leq k \leq t + 1$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{k} ^{t + 1} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ (ⅲ) $k \leq t - 1 < t + 1 \leq k + 8$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{t - 1} ^{t + 1} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ (ⅳ) $t - 1 \leq k + 8 \leq t + 1$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{t - 1} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ (ⅴ) $t - 1 \geq k + 8$일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {= \times \cos \left( \pi x \right) dx} = 0$ 한편, 다음 그래프에서 함수 $\displaystyle \int _{t - 1} ^{t + 1} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$는 $t$가 홀수일 때 극소이자 최소이고, $t$가 짝수일 때 극대이자 최대임을 알 수 있다.

[$t$가 홀수일 때]

[$t$가 짝수일 때]

그런데, $\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left( 1 - x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \left[ \frac{1}{\pi} \left( 1 - x \right) \sin \left( \pi x \right) \right] _{0} ^{1} + \frac{1}{\pi} \int _{0} ^{1} {\sin \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = 0 + \frac{1}{\pi} \left[ - \frac{1}{\pi} \cos \left( \pi x \right) \right] _{0} ^{1}$ $\displaystyle = \frac{2}{\pi ^{2}}$ 이므로 $t$가 $k \leq t - 1 < t + 1 \leq k + 8$인 홀수일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{t - 1} ^{t + 1} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {f \left( x + t \right) \cos \left\{ \pi \left( x + t \right) \right\} dx}$ $\displaystyle = - \int _{- 1} ^{1} {\left( 1 - \left| x \right| \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - 2 \int _{0} ^{1} {\left( 1 - x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - \frac{4}{\pi ^{2}}$ 이고, $t$가 $k \leq t - 1 < t + 1 \leq k + 8$인 짝수일 때 $g \left( t \right)$$\displaystyle = \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{t - 1} ^{t + 1} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {f \left( x + t \right) \cos \left\{ \pi \left( x + t \right) \right\} dx}$ $\displaystyle = \int _{- 1} ^{1} {\left( 1 - \left| x \right| \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = 2 \int _{0} ^{1} {\left( 1 - x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \frac{4}{\pi ^{2}}$ 이다. 그런데 $k$는 홀수이므로 함수 $g \left( t \right)$는 다음과 같이 극솟값을 갖는다. (1) $t = k$에서 극솟값 $\displaystyle \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$$\displaystyle = \int _{k} ^{k + 1} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{1} {\left( 1 - x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - \frac{2}{\pi ^{2}}$ 을 갖는다. (2) $t = k + 8$에서 극솟값 $\displaystyle \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{k + 7} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - \int _{- 1} ^{0} {\left( 1 + x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{1} {\left( 1 - x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - \frac{2}{\pi ^{2}}$ 를 갖는다. (3) $t = k + 2$에서 극솟값 $\displaystyle \int _{k} ^{k + 8} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = \int _{k + 1} ^{k + 3} {f \left( x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - \int _{- 1} ^{1} {\left( 1 + x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - 2 \int _{0} ^{1} {\left( 1 - x \right) \cos \left( \pi x \right) dx}$ $\displaystyle = - \frac{4}{\pi ^{2}}$ 를 갖는다. (4) $t = k + 4$, $k + 6$에서도 (3)과 마찬가지로 극솟값 $\displaystyle - \frac{4}{\pi ^{2}}$를 갖는다. 이상에서 $\alpha _{1} = k$, $\alpha _{2} = k + 2$, $\alpha _{3} = k + 4$, $a _{4} = k + 6$, $\alpha _{5} = k + 8$ 이고, $\displaystyle g \left( \alpha _{1} \right) = g \left( \alpha _{8} \right) = - \frac{2}{\pi ^{2}}$ $\displaystyle g \left( \alpha _{2} \right) = g \left( \alpha _{3} \right) = g \left( \alpha _{4} \right) = - \frac{4}{\pi ^{2}}$ 이다. 이때 $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{m} \alpha _{i} = 5 k + 20 = 45$이므로 $k = 5$, $\displaystyle \sum\limits _{i = 1} ^{m} g \left( \alpha _{i} \right)$$\displaystyle = \sum\limits _{i = 1} ^{5} g \left( \alpha _{i} \right)$$\displaystyle = - \frac{1}{\pi ^{2}} \left( 2 + 4 + 4 + 4 + 2 \right)$$\displaystyle = - \frac{16}{\pi ^{2}}$ 따라서 $\displaystyle k - \pi ^{2} \sum\limits _{i = 1} ^{m} g \left( \alpha _{i} \right)$$\displaystyle = 5 - \pi ^{2} \times \left( - \frac{16}{\pi ^{2}} \right)$$= 5 + 16 = 21$