미적분Ⅱ여러 가지 적분법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

정적분 함수 미분

문제

연속함수 f(x)f \left( x \right)가 모든 양의 실수 tt에 대하여 ∫0ln⁡tf(x)dx=(tln⁡t+a)2−a\displaystyle \int _{0} ^{\ln t} {} f \left( x \right) dx = \left( t \ln t + a \right) ^{2} - a 를 만족시킬 때, f(1)f \left( 1 \right)의 값은? (단, aa는 00이 아닌 상수이다.) [3점] ①2e2+2e2 e ^{2} + 2 e②2e2+4e2 e ^{2} + 4 e③4e2+4e4 e ^{2} + 4 e④4e2+8e4 e ^{2} + 8 e⑤8e2+8e8 e ^{2} + 8 e

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③

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해설

[출제의도] 적분과 미분의 관계와 합성함수의 미분을 이용하여 함숫값을 구한다. 주어진 식에서 t=1t = 1이면 a2−a=a(a−1)=0a ^{2} - a = a \left( a - 1 \right) = 0 이때 a≠0a \ne 0이므로 a=1a = 1 주어진 식의 양변을 tt에 대하여 미분하면 f(ln⁡t)×1t=2(tln⁡t+1)(ln⁡t+1)\displaystyle f \left( \ln t \right) \times \frac{1}{t} = 2 \left( t \ln t + 1 \right) \left( \ln t + 1 \right) f(ln⁡t)=2t(tln⁡t+1)(ln⁡t+1)f \left( \ln t \right) = 2 t \left( t \ln t + 1 \right) \left( \ln t + 1 \right), ln⁡t=1\ln t = 1이면 t=et = e 따라서 f(1)f \left( 1 \right)=2e(e+1)×2= 2 e \left( e + 1 \right) \times 2=4e2+4e= 4 e ^{2} + 4 e

태그

#정적분으로 정의된 함수#합성함수 미분

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