정적분 함수 접선

$f ( x )$$\displaystyle = \int _{1} ^{x} ( x ^{2} - t ) dt$$\displaystyle = \left[ x ^{2} t - \frac{1}{2} t ^{2} \right] _{1} ^{x}$ $\displaystyle = x ^{2} ( x - 1 ) - \frac{1}{2} ( x ^{2} - 1 )$$\displaystyle = x ^{3} - \frac{3}{2} x ^{2} + \frac{1}{2}$ ∴ $f' ( x )$$= 3 x ^{2} - 3 x$ $f' ( x ) = 6$에서 $x ^{2} - x - 2 = 0$ ∴ $x = - 1$, $2$ $\displaystyle f ( - 1 ) = - 1 - \frac{3}{2} + \frac{1}{2} = - 2$ $\displaystyle f ( 2 ) = 8 - 6 + \frac{1}{2} = \frac{5}{2}$ 이므로 함수 $f ( x )$에 접하는 기울기가 $6$인 직선의 방정식은 $y = 6 ( x + 1 ) - 2 = 6 x + 4$ 또는 $\displaystyle y = 6 ( x - 2 ) + \frac{5}{2} = 6 x - \frac{19}{2}$ 이다. 따라서 양수 $k$의 값은 $\displaystyle \frac{19}{2}$이다.