정적분 함수 근 조건

$f \left( x \right) = \ln \left( x ^{4} + 1 \right) - C$, $g' \left( x \right) = f \left( x \right)$, $g \left( a \right) = 0$ $\displaystyle f' \left( x \right) = \frac{4 x ^{3}}{x ^{4} + 1}$

$y = g' ( x )$가 $y$축 대칭이므로 $y = g ( x )$의 그래프는 점 $( 0 , g ( 0 ) )$에 대하여 대칭이 되면서 $y = g ( x )$의 그래프가 $x$축과 만나는 서로 다른 점의 개수가 2가 되도록 하는 상황은 아래 그림과 같이 두 가지뿐이다. 1) 2)

$g \left( x \right)$는 $x = 1$에서 극솟값을 가지므로 $\alpha _{3} = 1$ $\therefore f \left( 1 \right) = 0$ $\ln 2 - c = 0$ $\therefore c = \ln 2$ $a = \alpha _{1}$일 때

$\displaystyle \int _{\alpha _{1}} ^{\alpha _{4}} {g \left( x \right) dx}$$= g \left( 0 \right) \times \left( \alpha _{4} - \alpha _{1} \right)$$= 2 g \left( 0 \right) \times \alpha _{4}$ $\displaystyle \int _{0} ^{1} {\left| f \left( x \right) \right| dx} = \int _{0} ^{1} {\left| g' \left( x \right) \right| dx}$ $\displaystyle = - \int _{0} ^{1} {g' \left( x \right) dx}$ $= - g \left( 1 \right) + g \left( 0 \right)$$= g \left( 0 \right)$ $\displaystyle \int _{\alpha _{1}} ^{\alpha _{4}} {g \left( x \right) dx}$$\displaystyle = 2 \alpha _{4} \int _{0} ^{1} {\left| f \left( x \right) \right| dx}$ $\therefore k = 2$ $\therefore mk \times e ^{c} = 4 \times 2 \times e ^{\ln 2} = 16$