정적분 등식 함수

등식을 만족시키는 다항식 $f ( x )$는 일차식이다. $f ( x ) = cx + d$라 하면 $\displaystyle \int _{1} ^{x} ( 2 x - 1 ) f ( t ) dt = x ^{3} + ax + b$ 미분하면 $\displaystyle 2 \int _{1} ^{x} f ( t ) dt + ( 2 x - 1 ) f ( x ) = 3 x ^{2} + a$ 또 미분하면 $2 f ( x ) + 2 f ( x ) + ( 2 x - 1 ) f' ( x ) = 6 x$ $4 f ( x ) + ( 2 x - 1 ) f' ( x ) = 6 x$ $4 cx + 4 d + c ( 2 x - 1 ) = 6 x$, $6 cx + 4 d - c = 6 x$ $\therefore$ $c = 1$, $\displaystyle d = \frac{1}{4}$, $\displaystyle f ( x ) = x + \frac{1}{4}$, $\displaystyle 40 \times f ( 1 ) = 40 \times \frac{5}{4} = 50$