미적분Ⅰ부정적분과 정적분수능 기출기본 문제 (3점 중반)

정적분 대칭

문제

함수 $f ( x ) = x ^{3} + 2 x ^{2} - 3 x + 4$ 가 있다. 등식 $\displaystyle \int _{-2} ^{2} f ( x ) dx = f ( - a ) + f ( a )$ 를 만족시키는 실수 $a$ 에 대하여 $3 a ^{2}$ 의 값을 구하여라. [3점]

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해설

$f ( x ) + f ( - x ) = 4 x ^{2} + 8$ 이므로 $\displaystyle \int _{-2} ^{2} f ( x ) dx = f ( - a ) + f ( a )$ 에서 $\displaystyle \int _{0} ^{2} 4 ( x ^{2} + 2 ) dx = 4 ( a ^{2} + 2 )$ $\displaystyle \left[ \frac{x ^{3}}{3} + 2 x \right] _{0} ^{2} = ( a ^{2} + 2 )$ ∴ $3 a ^{2} = 14$ [참고] $\displaystyle \int _{-a} ^{a} f ( x ) dx = \int _{0} ^{a} \left\{ f ( x ) + f ( - x ) \right\} dx$

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