정규분포 평균

[출제의도] 정규분포 곡선을 이해하여 관련 문항을 해결할 수 있다. 정규분포를 따르는 두 확률변수 $X , Y$의 표준편차가 서로 같으므로 확률밀도함수 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 그래프는 평행이동에 의하여 일치할 수 있다. $\mathrm{P} \mathit{(} 41 \leq Y \leq 61 )$$= \mathrm{P} \mathit{(} m _{1} \leq X \leq m _{1} + 17 ) + \mathrm{P} \mathit{(} 0 \leq Z \leq 0.5 )$ 에서 $\displaystyle \mathrm{P} \mathit{\left( \frac{41 - m _{2}}{6} \leq Z \leq \frac{61 - m _{2}}{6} \right)}$ $\displaystyle \begin{aligned} & = \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq \frac{17}{6} \right)} + \mathrm{P} \mathit{\left( 0 \leq Z \leq \frac{1}{2} \right)} \\ & = \mathrm{P} \mathit{\left( - \frac{1}{2} \leq Z \leq \frac{17}{6} \right)} \\ & = \mathrm{P} \mathit{\left( - \frac{17}{6} \leq Z \leq \frac{1}{2} \right)} \end{aligned}$ 한편 $\displaystyle \frac{61 - m _{2}}{6} - \frac{41 - m _{2}}{6} = \frac{20}{6}$로 일정하므로 다음과 같이 두 가지 경우로 나누어 생각할 수 있다. ⑴ $\displaystyle \frac{41 - m _{2}}{6} = - \frac{1}{2}$이고 $\displaystyle \frac{61 - m _{2}}{6} = \frac{17}{6}$인 경우 $m _{2} = 44$이고 $f ( x ) = g ( x )$를 만족시키는 $x$의 값이 $44$이므로 $\displaystyle \frac{m _{1} + m _{2}}{2} = \frac{m _{1} + 44}{2} = 44$$,$ $m _{1} = 44$ $m _{1} = m _{2} = 44$이므로 확률밀도함수 $y = f ( x )$와 $y = g ( x )$의 그래프는 일치하게 되어, $f ( x ) = g ( x )$를 만족시키는 $x$의 값이 $44$뿐이라는 조건에 모순된다. ⑵ $\displaystyle \frac{41 - m _{2}}{6} = - \frac{17}{6}$이고 $\displaystyle \frac{61 - m _{2}}{6} = \frac{1}{2}$인 경우 $m _{2} = 58$이고 $f ( x ) = g ( x )$를 만족시키는 $x$의 값이 $44$이므로 $\displaystyle \frac{m _{1} + m _{2}}{2} = \frac{m _{1} + 58}{2} = 44$$,$ $m _{1} = 30$ $m _{1} = 30$, $m _{2} = 58$이면, $f ( x ) = g ( x )$를 만족시키는 $x$의 값이 $44$뿐이라는 조건을 만족시킨다. 따라서 $m _{1} = 30$$,$ $m _{2} = 58$이므로 $2 m _{1} + m _{2}$$= 60 + 58 = 118$