확률과 통계확률분포수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정규분포 G(t) 최댓값

문제

양의 실수 전체의 집합에서 정의된 함수 G(t)G ( t )는 평균이 tt, 표준편차가 1t2\displaystyle \frac{1}{t ^{2}}인 정규분포를 따르는 확률변수 XX에 대하여 G(t)=P(X≤32)\displaystyle G ( t ) = P \left( X \leq \frac{3}{2} \right)이다. 함수 G(t)G ( t )의 최댓값을 표준정규분포표를 이용하여 구한 것은? [4점]

zzP(0≤Z≤z)P ( 0 \leq Z \leq z )
0.40.40.15540.1554
0.50.50.19150.1915
0.60.60.22570.2257
0.70.70.25800.2580

①0.30850.3085②0.34460.3446③0.69150.6915④0.72570.7257⑤0.75800.7580

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③

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해설

Z=X−t1t2≤32−t1t2=t2(32−t)\displaystyle Z = \frac{X - t}{\frac{1}{t ^{2}}} \leq \frac{\frac{3}{2} - t}{\frac{1}{t ^{2}}} = t ^{2} ( \frac{3}{2} - t ) f(t)=32t2−t3\displaystyle f ( t ) = \frac{3}{2} t ^{2} - t ^{3}이라 하면 f′(t)=3t−3t2f' ( t ) = 3 t - 3 t ^{2}이므로 t=1t = 1일 때 f(t)f ( t )가 최대이다. ∴G(t)max⁡=P(Z≤12)=0.5+P(0≤Z≤12)=0.6915\displaystyle G ( t ) _{\max} = P ( Z \leq \frac{1}{2} ) = 0.5 + P ( 0 \leq Z \leq \frac{1}{2} ) = 0.6915

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