정규분포 대칭성

[출제의도] 정규분포의 대칭성을 이해하고 확률을 구할 수 있는가? 확률변수 $X$는 정규분포 ${\mathrm{N}} ( m , 5 ^{2} )$을 따르므로 곡선 $y = f ( x )$는 직선 $x = m$에 대하여 대칭이다. 한편, 조건 (가)에서 $f \left( 10 \right) > f \left( 20 \right)$이므로 $\displaystyle m < \frac{10 + 20}{2}$ $m < 15$ ⋯⋯ ㉠ 또, 조건 (나)에서 $f \left( 4 \right) < f \left( 22 \right)$이므로 $\displaystyle m < \frac{4 + 22}{2}$ $m < 13$ ⋯⋯ ㉡ ㉠과 ㉡에서 $m$은 자연수이므로 $m = 14$ 따라서, ${P} ( 17 \leq X \leq 18 )$ $\displaystyle = {\mathrm{P}} \left( \frac{17 - 14}{5} \leq \frac{X - 14}{5} \leq \frac{18 - 14}{5} \right)$ $= {\mathrm{P}} ( 0.6 \leq Z \leq 0.8 )$ $= {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 0.8 ) - {\mathrm{P}} ( 0 \leq Z \leq 0.6 )$ $= 0.288 - 0.226$ $= 0.062$ 따라서, $a = 0.062$이므로 $1000 a = 62$