정다각형 대각선 길이의 가짓수

$A _{n} = \left\{ x | x \right.$는 한 변의 길이가 $1$인 정 $n$각형의 대각선의 길이$\}$이므로 한 변이 $1$인 정사각형은 대각선이 $\displaystyle \sqrt{2}$인 한 종류뿐이므로 $a _{4} = 1 ,$ 같은 방법으로 $a _{5} = 1$ $n = 2 k ( k \geq 2 )$이면 길이가 다른 대각선은 $\displaystyle \overline{B _{1} B _{3}} , \overline{B _{1} B _{4}} , \cdots , \overline{B _{1} B _{k + 1}}$의 $k - 1$개 즉, $a _{2k} = k - 1$ 같은 방법으로 $a _{2k+1} = k - 1$ $\displaystyle \therefore \sum\limits _{n=4} ^{25} a _{n} = \sum\limits _{k=2} ^{12} ( a _{2k} + a _{2k+1} )$$\displaystyle = \sum\limits _{k=2} ^{12} ( 2 k - 2 )$ $\displaystyle = \sum\limits _{k=1} ^{12} ( 2 k - 2 ) = 2 \cdot \frac{12 \times 13}{2} - 24$$= 132$