미적분Ⅱ여러 가지 미분법수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

정2n각형 넓이 극한

문제

[그림11]은 중심이 같은 두 개의 정2n2 n각형에서 큰 정2n2 n각형의 꼭지점, 작은 정2n2 n각형의 꼭지점과 중심이 한 직선 위에 있도록 연결한 것이다. 중심에서 두 개의 정2n2 n각형의 꼭지점까지의 거리는 각각 1010, 2020이다. [그림11]의 어두운 부분을 잘라내어 만든 [그림22]와 같은 도형의 넓이를 SnS _{n}이라 하자. 1πlim⁡n→∞Sn\displaystyle \frac{1}{\pi} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n}의 값을 구하시오. [4점]

[그림11] [그림22]

정답 보기
250

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[그림 2]의 도형의 넓이는 두 변의 길이가 20인 이등변삼각형 nn개의 넓이와 두 변의 길이가 10인 이등변삼각형 nn개의 넓이의 합이다. 이 때, 같은 두 변 사이의 끼인 각의 크기는 2π2n=πn\displaystyle \frac{2 \pi}{2 n} = \frac{\pi}{n}이므로 Sn=n⋅12⋅202⋅sin⁡πn+n⋅12⋅102⋅sin⁡πn\displaystyle S _{n} = n \cdot \frac{1}{2} \cdot 20 ^{2} \cdot \sin \frac{\pi}{n} + n \cdot \frac{1}{2} \cdot 10 ^{2} \cdot \sin \frac{\pi}{n} =250n⋅sin⁡πn\displaystyle = 250 n \cdot \sin \frac{\pi}{n} ∴1πlim⁡n→∞Sn=1πlim⁡n→∞(250n⋅sin⁡πn)\displaystyle \frac{1}{\pi} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} S _{n} = \frac{1}{\pi} \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \left( 250 n \cdot \sin \frac{\pi}{n} \right)=250lim⁡n→∞sin⁡πnπn\displaystyle = 250 \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{\sin \frac{\pi}{n}}{\frac{\pi}{n}}=250= 250

태그

#삼각함수의 극한#넓이

비슷한 문제 더 보기

미적분Ⅱ 문제 모음미적분Ⅱ 여러 가지 미분법 문제 모음수능 문제 모음심화 문제 모음
← 전체 문제 목록으로