점의 이동 규칙과 수열

자연수 $n$에 대하여 점 $\mathrm{A} \mathit{_{n}}$이 $x$축 위의 점일 때, 점 $\mathrm{A} \mathit{_{n + 1}}$을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) 점 $\mathrm{A} _{1}$의 좌표는 $( 2 , 0 )$이다. (나) (1) 점 ${\mathrm{A}} _{n}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 곡선 $\displaystyle y = \frac{1}{x} ( x > 0 )$과 만나는 점을 $\mathrm{P} \mathit{_{n}}$이라 한다. (2) 점 ${\mathrm{P}} _{n}$을 직선 $y = x$에 대하여 대칭이동한 점을 ${\mathrm{Q}} _{n}$이라 한다. (3) 점 ${\mathrm{Q}} _{n}$을 지나고 $y$축에 평행한 직선이 $x$축과 만나는 점을 ${\mathrm{R}} _{n}$이라 한다. (4) 점 $\mathrm{R} \mathit{_{n}}$을 $x$축의 방향으로 $1$만큼 평행이동한 점을 ${\mathrm{A}} _{n+1}$이라 한다.

점 $\mathrm{A} \mathit{_{n}}$의 $x$좌표를 $x _{n}$이라 하자. $\displaystyle x _{5} = \frac{q}{p}$일 때, $p + q$의 값을 구하시오. (단, $p , q$는 서로소인 자연수이다.) [3점]