점프 횟수의 평균

[출제의도] 이산확률분포에 관련된 추론문제를 해결할 수 있는가? 점프를 반복하여 점 $( 0 , 0 )$에서 점 $( 4 , 3 )$까지 이동하는 모든 경우의 수를 $N$이라 하자. 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 $k$라 하자. 이때, 점프는 $( x + 1 , y + 1 )$이 3번이고 $( x + 1 , y )$가 1번이면 되므로 $k =$ 이고 가장 큰 값은 $k + 3$이다. $X = k$일 때, 점프는 $( x + 1 , y + 1 )$이 3번, $( x + 1 , y )$가 1번이므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{X} = k ) = \frac{1}{N} \times \frac{4 !}{3 !} = \frac{4}{N}$ 또, $X = k + 1$일 때, 점프는 $( x + 1 , y + 1 )$이 2번, $( x + 1 , y )$가 2번 $( x , y + 1 )$이 1번이므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{X} = k + 1 ) = \frac{1}{N} \times \frac{5 !}{2 ! 2 !} = \frac{30}{N}$ 또, $X = k + 2$일 때, 점프는 $( x + 1 , y + 1 )$이 1번, $( x + 1 , y )$가 3번, $( x , y + 1 )$이 2번 이어야 하므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{X} = k + 2 ) = \frac{1}{N} \times \frac{6 !}{1 ! 3 ! 2 !}$$\displaystyle = \frac{1}{N} \times$ 또, $X = k + 3$일 때, 점프는 $( x + 1 , y )$가 $4$번, $( x , y + 1 )$이 $3$번 이어야 하므로 $\displaystyle \mathrm{P} ( \mathit{X} = k + 3 ) = \frac{1}{N} \times \frac{7 !}{3 ! 4 !} = \frac{35}{N}$이고 $\displaystyle \sum\limits _{i=k} ^{k+3} \mathrm{P} ( \mathit{X} = i ) = 1$에서 $\displaystyle \frac{4}{N} + \frac{30}{N} + \frac{60}{N} + \frac{35}{N} = 1$, $\displaystyle \frac{129}{N} = 1$이므로 $N =$ 이다. 따라서, 확률변수 $X$의 평균 $\mathrm{E} ( \mathit{X} )$는 다음과 같다. $\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{X} ) = \sum\limits _{i=k} ^{k+3} i \mathrm{P} ( \mathit{X} = i ) = \frac{257}{43}$ 위의 (가), (나), (다) 에 알맞은 값은 각각 $4 , 60 , 129$이므로 $a + b + c = 4 + 60 + 129 = 193$