점프 횟수의 평균

좌표평면 위의 한 점 $\left( x , y \right)$에서 세 점 $\left( x + 1 , y \right) ,$ $\left( x , y + 1 \right) ,$$\left( x + 1 , y + 1 \right)$중 한 점으로 이동하는 것을 점프라 하자. 점프를 반복하여 점 $\left( 0 , 0 \right)$에서 점 $\left( 4 , 3 \right)$까지 이동하는 모든 경우 중에서, 임의로 한 경우를 선택할 때 나오는 점프의 횟수를 확률변수 $X$라 하자. 다음은 확률변수 $X$의 평균 $E \left( X \right)$를 구하는 과정이다. (단, 각 경우가 선택되는 확률은 동일하다.) 점프를 반복하여 점 $\left( 0 , 0 \right)$에서 점 $\left( 4 , 3 \right)$까지 이동하는 모든 경우의 수를 $N$이라 하자. 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값 중 가장 작은 값을 $k$라 하면 $k = {\square {( \text{가} )}}$이고, 가장 큰 값은 $k + 3$이다. $\displaystyle P \left( X = k \right) = \frac{1}{N} \times \frac{4 !}{3 !} = \frac{4}{N}$ $\displaystyle P \left( X = k + 1 \right) = \frac{1}{N} \times \frac{5 !}{2 ! 2 !} = \frac{30}{N}$ $\displaystyle P \left( X = k + 2 \right) = \frac{1}{N} \times {\square {( \text{나} )}}$ $\displaystyle P \left( X = k + 3 \right) = \frac{1}{N} \times \frac{7 !}{3 ! 4 !} = \frac{35}{N}$ 이고 $\displaystyle \sum\limits _{i = k} ^{k + 3} P \left( X = i \right) = 1$ 이므로 $N = {\square {( \text{다} )}}$이다. 따라서 확률변수 $X$의 평균 $E \left( X \right)$는 다음과 같다. $\displaystyle E \left( X \right) = \sum\limits _{i = k} ^{k + 3} \left\{ i \times P \left( X = i \right) \right\} = \frac{257}{43}$

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a$, $b$, $c$라 할 때, $a + b + c$의 값은? [4점] ①$190$②$193$③$196$④$199$⑤$202$