대수지수와 로그수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식과 상용로그 자릿수

문제

a1=5,an+1=an5(n=1,2,3,⋯ )a _{1} = 5 , a _{n + 1} = a _{n} ^{5} \left( n = 1 , 2 , 3 , \cdots \right)으로 정의된 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에 대하여 log⁡5a10\log _{5} a _{10}은 mm자리 정수이다. 이 때, mm의 값을 구하시오. (단, log⁡2=0.3010\log 2 = 0.3010으로 계산한다.) [3점]

정답 보기
7{7}

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이해하여 문제해결하기 an+1=an5a _{n + 1} = a _{n} ^{5}의 양변에 55를 밑으로 하는 로그를 취하면 log⁡5an+1=5log⁡5an\log _{5} a _{n + 1} = 5 \log _{5} a _{n}이다. 이 때, log⁡5an=bn\log _{5} a _{n} = b _{n}이라 하면 bn+1=5bnb _{n + 1} = 5 b _{n}이므로 bn=b1⋅5n−1=5n−1b _{n} = b _{1} \cdot 5 ^{n - 1} = 5 ^{n - 1}이다. 그러므로 log⁡5a10=b10=59\log _{5} a _{10} = b _{10} = 5 ^{9}이므로 log⁡59=9(1−log⁡2)=9×0.6990=6.2910\log 5 ^{9} = 9 \left( 1 - \log 2 \right) = 9 \times 0.6990 = 6.2910이다. 따라서 log⁡59\log 5 ^{9}의 지표가 66이므로 m=7m = 7이다.

태그

#상용로그#지표#점화식

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 지수와 로그 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로