대수수학적 귀납법수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식과 로그

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 a1=3,an+1=2an+1a _{1} = 3 , a _{n+1} = 2 a _{n} + 1로 정의될 때, log⁡4(a99+1)\log _{4} ( a _{99} + 1 )의 값은? [4점] ①5050②5555③6060④6565⑤7070

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①

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해설

[출제의도] 여러 가지 수열에 관한 문제 해결하기 an+1=2an+1a _{n+1} = 2 a _{n} + 1 ⇔ an+1+1=2(an+1)a _{n+1} + 1 = 2 ( a _{n} + 1 )이므로 an+1=bna _{n} + 1 = b _{n}이라 하면 bn+1=2bnb _{n+1} = 2 b _{n} ⋯\cdots ㉠ 이 때, ㉠에 n=1n = 1, 22, ⋯\cdots, n−1n - 1을 차례로 대입하여 정리하면 bn=b1⋅2n−1=2n+1b _{n} = b _{1} \cdot 2 ^{n-1} = 2 ^{n+1} (∵b1=4b _{1} = 4) 따라서, an=2n+1−1a _{n} = 2 ^{n+1} - 1 ∴ a99=2100−1a _{99} = 2 ^{100} - 1이므로 (준식)=log⁡42100=50= \log _{4} 2 ^{100} = 50

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#귀납적 정의#등비수열#로그

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