점화식으로 정의된 수열의 극한

$\displaystyle a _{1} = 1 , \frac{1}{a _{n + 1}} = \frac{c}{a _{n}} + 1 ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ ㄱ. $c = 1$인 경우 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$은 역수가 공차가 $1$인 등차수열 이므로 $\displaystyle a _{n} = \frac{1}{n}$ 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} = 0$ (참) ㄴ. $c > 1$인 경우 $\displaystyle b _{n} = \frac{1}{a _{n}}$라 하면 $b _{1} = 1$, $b _{n+1} = c \cdot b _{n} + 1$ 점화식을 정리하면 $\displaystyle \left( b _{n+1} - \frac{1}{1 - c} \right) = c \cdot \left( b _{n} - \frac{1}{1 - c} \right)$ 따라서 수열 $\left\{ b _{n} \right\}$은 일정한 상수를 뺀 수열이 공비가 $c$인 등비수열이다. $\displaystyle b _{n} = \frac{1}{c - 1} \cdot c ^{n} + \frac{1}{1 - c} = \frac{1}{c - 1} \left( c ^{n} - 1 \right)$ $\displaystyle \therefore a _{n} = \frac{c - 1}{c ^{n} - 1}$(단, $c > 1$) 따라서 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{c - 1}{c ^{n} - 1} = 0$ (거짓) ㄷ. $0 < c < 1$인 경우에는 $\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \lim\limits _{n \rightarrow \infty} \frac{c - 1}{c ^{n} - 1} = 1 - c$ ($\displaystyle \because \lim\limits _{n \rightarrow \infty} c ^{n} = 0$) (참)