점화식으로 정의된 수열의 부분분수 합

주어진 점화식의 양변에 역수를 취해서 정리하면 $\displaystyle \frac{1}{2 a _{n+1}} = \frac{1}{a _{n} ^{2} + 2 a _{n}} = \frac{1}{a _{n} ( a _{n} + 2 )}$ $\displaystyle \frac{1}{a _{n+1}} = \frac{2}{a _{n} ( a _{n} + 2 )} = \frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n} + 2}$ $\displaystyle \therefore \frac{1}{a _{n} + 2} = \frac{1}{a _{n}} - \frac{1}{a _{n+1}}$ 그러므로 준 식$\displaystyle = \frac{1}{2 + a _{1}} + \frac{1}{2 + a _{2}} + \frac{1}{2 + a _{3}} + \cdots + \frac{1}{2 + a _{2001}}$ $\displaystyle = ( \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{2}} ) + ( \frac{1}{a _{2}} - \frac{1}{a _{3}} ) + \cdots + ( \frac{1}{a _{2001}} - \frac{1}{a _{2002}} )$ $\displaystyle = \frac{1}{a _{1}} - \frac{1}{a _{2002}}$ $\displaystyle = 1 - \frac{1}{a _{2002}}$