미적분Ⅱ급수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 수열의 급수

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}이 다음 조건을 만족한다. (가) a1=pa _{1} = p, an+1=18an+q\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{8} a _{n} + q (n=1n = 1, 22, 33, ⋯\cdots ) (나) ∑n=1∞an=16\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 16

이때, 두 실수 pp, qq에 대하여 p+qp + q의 값을 구하시오. [4점]

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해설

[출제의도] 수열의 귀납적 정의를 이용하여 무한급수 문제해결하기 an+1=18an+q\displaystyle a _{n + 1} = \frac{1}{8} a _{n} + q를 변형하면 an+1−8q7=18(an−8q7)\displaystyle a _{n + 1} - \frac{8 q}{7} = \frac{1}{8} \left( a _{n} - \frac{8 q}{7} \right) an=(a1−8q7)(18)n−1+8q7\displaystyle a _{n} = \left( a _{1} - \frac{8 q}{7} \right) \left( \frac{1}{8} \right) ^{n - 1} + \frac{8 q}{7} ∑n=1∞an=16\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = 16이므로 lim⁡n→∞an=0\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}} = 0이다. ∴q=0\therefore q = 0 수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}은 a1=pa _{1} = p이고 공비 r=18\displaystyle r = \frac{1}{8}인 등비수열이므로 ∑n=1∞an=p1−18=87p=16\displaystyle \sum\limits _{n = 1} ^{\infty} a _{n} = \frac{p}{1 - \frac{1}{8}} = \frac{8}{7} p = 16 ∴p=14\therefore p = 14

태그

#점화식#등비급수

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