대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 수열 항

문제

첫째항이 $1$ 인 수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 모든 자연수 $n$ 에 대하여 다음 조건을 만족시킨다.


	(가) $a _{n + 1} > a _{n}$ (나) $( a _{n} + a _{n + 1} ) ^{2} = 4 a _{n} a _{n + 1} + 4 ^{n}$

$a _{10}$ 의 값은? [4점] ① $1021$ ② $1022$ ③ $1023$ ④ $1024$ ⑤ $1025$

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③

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[출제의도] 귀납적으로 정의된 수열 이해하기 $( a _{n} + a _{n + 1} ) ^{2} = 4 a _{n} a _{n + 1} + 4 ^{n}$ 에서 $( a _{n + 1} - a _{n} ) ^{2} = 4 ^{n}$ $a _{n + 1} > a _{n}$ 이므로 $a _{n + 1} - a _{n} = 2 ^{n}$ 그러므로 $\displaystyle a _{10} = 1 + \sum\limits _{k = 1} ^{9} 2 ^{k} = 1023$

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