미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 수열 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}에서 a1=1,an+1=an+14n2−1\displaystyle a _{1} = 1 , a _{n+1} = a _{n} + \frac{1}{4 n ^{2} - 1}(n≥1n \geq 1)일 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n\rightarrow \infty} a _{n}의 값은? [3점] ①13\displaystyle \frac{1}{3}②12\displaystyle \frac{1}{2}③11④54\displaystyle \frac{5}{4}⑤32\displaystyle \frac{3}{2}

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⑤

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해설

[출제의도] 귀납적 정의를 이해하고 극한값 계산하기 an=1+∑k=1n−11(2k−1)(2k+1)\displaystyle a _{n} = 1 + \sum\limits _{{k} = 1} ^{n-1} \frac{1}{( 2 k - 1 ) ( 2 k + 1 )} =1+12∑k=1n−1(12k−1−12k+1)\displaystyle = 1 + \frac{1}{2} \sum\limits _{{k} = 1} ^{n-1} \left( \frac{1}{2 k - 1} - \frac{1}{2 k + 1} \right) =1+12{(1−13)+(13−15)+⋯ \displaystyle = 1 + \frac{1}{2} \left\{ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) + \left( \frac{1}{3} - \frac{1}{5} \right) + \cdots \right.+(12n−3−12n−1)}\displaystyle + \left( \frac{1}{2 n - 3} - \frac{1}{2 n - 1} \right) \} =1+n−12n−1\displaystyle = 1 + \frac{n - 1}{2 n - 1} ∴lim⁡n→∞an=32\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} a _{n} = \frac{3}{2}

태그

#점화식#부분분수#극한

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