미적분Ⅱ수열의 극한수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 수열 극한

문제

수열 {an}\left\{ a _{n} \right\}을 a1=2a _{1} = 2, nan+1an=(n+1)2an−n2an+1na _{n + 1} a _{n} = ( n + 1 ) ^{2} a _{n} - n ^{2} a _{n + 1} 으로 정의할 때, lim⁡n→∞an\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n}}의 값은? [4점] ①00②13\displaystyle \frac{1}{3}③12\displaystyle \frac{1}{2}④22⑤33

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④

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해설

[출제의도] 수열의 극한값 구하기 n=(n+1)2an+1−n2an\displaystyle n = \frac{( n + 1 ) ^{2}}{a _{n + 1}} - \frac{n ^{2}}{a _{n}}, bn=n2an\displaystyle b _{n} = \frac{n ^{2}}{a _{n}}라 하면 주어진 식은 bn+1−bn=nb _{n + 1} - b _{n} = n으로 표현된다. bn=b1+∑k=1n−1(bk+1−bk)=12+∑k=1n−1k\displaystyle b _{n} = b _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} ( b _{k + 1} - b _{k} ) = \frac{1}{2} + \sum\limits _{k = 1} ^{n - 1} k =n2−n+12\displaystyle = \frac{n ^{2} - n + 1}{2}이므로 n2an=n2−n+12\displaystyle \frac{n ^{2}}{a _{n}} = \frac{n ^{2} - n + 1}{2}이다. an=2n2n2−n+1\displaystyle a _{n} = \frac{2 n ^{2}}{n ^{2} - n + 1} ∴\thereforelim⁡n→∞an=2\displaystyle \lim\limits _{n \rightarrow \infty} {a _{n} = 2}

태그

#점화식#역수치환#극한

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