대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점화식 홀짝 항의 차

문제

수열 $\left\{ a _{n} \right\}$ 이 $a _{1} = 2 , a _{n} + a _{n+1} = 3 n ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ 으로 정의된다. 이때, 두 수 $P = a _{1} + a _{3} + a _{5} + a _{7} + \cdots + a _{19}$ $Q = a _{2} + a _{4} + a _{6} + a _{8} + \cdots + a _{20}$ 에 대하여 $P - Q$ 의 값을 구하시오. [4점]

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[출제의도] 주어진 수열의 규칙성을 추론할 수 있는가를 묻는 문제이다. $n = 1$ 일 때, $a _{1} = 2 ,$ $a _{1} + a _{2} = 3$ $\therefore$ $a _{2} = 1$ $n = 2$ 일 때, $a _{2} + a _{3} = 6$ $\therefore$ $a _{3} = 5$ $n = 3$ 일 때, $a _{3} + a _{4} = 9$ $\therefore$ $a _{4} = 4$ $\vdots$ ∴ $a _{2n-1} - a _{2n} = 1 ( n = 1 , 2 , 3 , \cdots )$ $\therefore$ $\displaystyle P - Q = \sum\limits _{{n} = 1} ^{10} ( a _{2n-1} - a _{2n} ) = 10$

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