점과 직선 거리

두 점 $\mathrm{B} ( 1 , - 1 , 2 )$, $\mathrm{C} ( 5 , - 3 , 8 )$을 지나는 직선을 $l$이라 하면 직선 $l$의 방정식은 $\displaystyle \frac{x - 1}{5 - 1} = \frac{y - ( - 1 )}{- 3 - ( - 1 )} = \frac{z - 2}{8 - 2}$ 즉, $\displaystyle \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$이다. 따라서 $\displaystyle \frac{x - 1}{2} = \frac{y + 1}{- 1} = \frac{z - 2}{3}$$= t$(실수)라 하면 직선 $l$ 위의 점은 $\mathrm{P}$는 $( 2 t + 1 , - t - 1 , 3 t + 2 )$로 표현되고 $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}}$의 최솟값이 $d$이다. $\displaystyle \mathrm{\overline{AP}} ^{2}$$= ( 2 t - 3 ) ^{2} + ( - t - 7 ) ^{2} + ( 3 t - 5 ) ^{2}$ $= 14 t ^{2} - 28 t + 83$ $= 14 \left( t - 1 \right) ^{2} + 69$ $\geq 69$ ∴ $d ^{2} = 69$ [다른 풀이] 위 풀이에서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}}$가 최소가 될 때는 $\displaystyle \overline{\mathrm{AP}} \perp l$인 경우이다. 직선 $l$의 방향벡터를 $\vec{h} = ( 2 , - 1 , 3 )$로 놓으면 $\vec{\mathrm{AP}} \cdot \vec{h} = 0$이므로 $( 2 t - 3 , - t - 7 , 3 t - 5 ) \cdot ( 2 , - 1 , 3 )$ $= 4 t - 6 + t + 7 + 9 t - 15$ $= 14 t - 14 = 0$ ∴ $t = 1$ ∴ $\vec{\mathrm{AP}} = ( - 1 , - 8 , - 2 )$ ∴ $d ^{2} = \left| \vec{\mathrm{AP}} \right| ^{2}$$= ( - 1 ) ^{2} + ( - 8 ) ^{2} + ( - 2 ) ^{2}$$= 69$