점과 직선 거리

[출제의도] 유리함수의 성질을 이용하여 주어진 조건을 만족하는 문제를 해결한다. 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b \right)$는 유리함수 $\displaystyle y = \frac{4}{x} \left( x > 0 \right)$의 그래프 위의 점이므로 $\displaystyle b = \frac{4}{a}$에서 $ab = 4$ ($a > 0$, $b > 0$) 점 $\mathrm{P} \left( \mathit{a} , b \right)$와 직선 $x + y = 0$ 사이의 거리가 $5$이므로 $\displaystyle \frac{\left| a + b \right|}{\sqrt{1 ^{2} + 1 ^{2}}} = 5$에서 $\displaystyle a + b = 5 \sqrt{2}$ 따라서 $a ^{2} + b ^{2}$$= \left( a + b \right) ^{2} - 2 ab$ $\displaystyle = \left( 5 \sqrt{2} \right) ^{2} - 2 \times 4 = 42$