점과 대칭점 사이의 거리

점 $\mathrm{B}$의 좌표를 $( a , b )$라 하자. 선분 $\mathrm{AB}$의 중점 $\displaystyle \left( \frac{4 + a}{2} , \frac{4 + b}{2} \right)$가 직선 $y = 2 x + 1$ 위에 있으므로 $\displaystyle \frac{4 + b}{2} = ( 4 + a ) + 1$ 즉 $b = 2 a + 6 \cdots \text{①}$ 직선 $\mathrm{AB}$는 직선 $y = 2 x + 1$과 수직이므로 $\displaystyle \frac{b - 4}{a - 4} \times 2 = - 1$ 즉 $a + 2 b = 12 \cdots \text{ ②}$ ①을 ②에 대입하면 $a + 4 a + 12 = 12$에서 $a = 0$, $b = 6$ 따라서 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{( 0 - 4 ) ^{2} + ( 6 - 4 ) ^{2}} = \sqrt{20} = 2 \sqrt{5}$ [다른 풀이] 대칭인 두 점 사이의 거리는 점 $\mathrm{A}$와 직선 $2 x - y + 1 = 0$ 사이의 거리의 $2$배이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = 2 \times \frac{\left| 8 - 4 + 1 \right|}{\sqrt{4 + 1}} = 2 \times \frac{5}{\sqrt{5}} = 2 \sqrt{5}$