공통수학2도형의 이동AI발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점대칭이동한 원과 처음 원의 공통접선

문제

그림과 같이 원 C:(x−1)2+(y−2)2=5\mathrm{C} : ( x - 1 ) ^{2} + ( y - 2 ) ^{2} = 5를 점 P(3,3)\mathrm{P} ( 3 , 3 )에 대하여 대칭이동한 원을 C′\mathrm{C}'이라 하자. 두 원 C\mathrm{C}, C′\mathrm{C}'이 한 점에서 만날 때, 그 점에서의 두 원의 공통접선의 yy절편을 구하시오. [4점]

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해설

원 C\mathrm{C}의 중심 A(1,2)\mathrm{A} ( 1 , 2 )를 점 P(3,3)\mathrm{P} ( 3 , 3 )에 대하여 대칭이동한 점은 B(2×3−1,2×3−2)\mathrm{B} ( 2 \times 3 - 1 , 2 \times 3 - 2 ), 즉 B(5,4)\mathrm{B} ( 5 , 4 ) 이므로 원 C′\mathrm{C}'은 중심이 B(5,4)\mathrm{B} ( 5 , 4 )이고 반지름의 길이가 5\displaystyle \sqrt{5}인 원이다. AB‾=16+4=25\displaystyle \overline{\mathrm{AB}} = \sqrt{16 + 4} = 2 \sqrt{5}이고 두 원의 반지름의 길이의 합도 25\displaystyle 2 \sqrt{5}이므로 두 원은 외접한다. 접점은 선분 AB\mathrm{AB}의 중점, 즉 대칭의 중심 P(3,3)\mathrm{P} ( 3 , 3 )이다. 공통접선은 점 P\mathrm{P}를 지나고 직선 AB\mathrm{AB}에 수직이다. 직선 AB\mathrm{AB}의 기울기가 4−25−1=12\displaystyle \frac{4 - 2}{5 - 1} = \frac{1}{2}이므로 공통접선의 기울기는 −2- 2이고, 그 방정식은 y−3=−2(x−3)y - 3 = - 2 ( x - 3 ), 즉 y=−2x+9y = - 2 x + 9 따라서 yy절편은 99

태그

#대칭이동#점에 대한 대칭#두 원의 위치관계#공통접선

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