점대칭이동한 원 위의 두 점 사이 거리의 최댓값

원 $\mathrm{C}$의 중심 $\mathrm{M} ( 1 , 1 )$을 점 $\mathrm{P} ( 4 , 5 )$에 대하여 대칭이동한 점은 $\mathrm{N} ( 2 \times 4 - 1 , 2 \times 5 - 1 )$, 즉 $\mathrm{N} ( 7 , 9 )$ 이므로 원 $\mathrm{C}'$은 중심이 $\mathrm{N} ( 7 , 9 )$이고 반지름의 길이가 $2$인 원이다. 두 중심 사이의 거리는 $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}} = \sqrt{( 7 - 1 ) ^{2} + ( 9 - 1 ) ^{2}} = \sqrt{100} = 10$ (또는 점 $\mathrm{P}$가 선분 $\mathrm{MN}$의 중점이므로 $\displaystyle \overline{\mathrm{MN}} = 2 \overline{\mathrm{MP}} = 2 \sqrt{9 + 16} = 10$) 선분 $\mathrm{AB}$의 길이의 최댓값은 두 중심 사이의 거리에 두 원의 반지름의 길이를 더한 것이므로 $10 + 2 + 2 = 14$