점대칭이동한 포물선과 한 점에서 만날 조건

실마리: 대칭이동한 곡선의 식을 세워 처음 식과 연립하면 어떤 문자가 남는지 본다. 점 $( 1 , 2 )$에 대한 대칭이동은 $x$ 대신 $2 - x$, $y$ 대신 $4 - y$를 대입하는 것이므로 대칭이동한 곡선의 방정식은 $4 - y = ( 2 - x ) ^{2} + a ( 2 - x ) + b$ $4 - y = x ^{2} - 4 x + 4 + 2 a - ax + b$ $y = - x ^{2} + ( 4 + a ) x - 2 a - b$ 두 곡선의 교점의 $x$좌표는 $x ^{2} + ax + b = - x ^{2} + ( 4 + a ) x - 2 a - b$ $2 x ^{2} - 4 x + 2 a + 2 b = 0$ $x ^{2} - 2 x + a + b = 0$ 의 실근이다. 오직 한 점에서 만나므로 이 이차방정식의 판별식을 $D$라 하면 $\displaystyle \frac{D}{4} = 1 - ( a + b ) = 0$에서 $a + b = 1$ 포물선이 점 $( 3 , 4 )$를 지나므로 $9 + 3 a + b = 4$에서 $3 a + b = - 5$ 두 식을 빼면 $2 a = - 6$이므로 $a = - 3$, $b = 4$ (검산) 포물선 $y = x ^{2} - 3 x + 4$를 점 $( 1 , 2 )$에 대하여 대칭이동하면 $y = - x ^{2} + x + 2$이고, 두 식을 연립하면 $x ^{2} - 2 x + 1 = 0$에서 $x = 1$ (중근)로 오직 한 점 $( 1 , 2 )$에서 만난다. 따라서 $b - a = 4 - ( - 3 ) = 7$