점대칭이동으로 만든 평행사변형의 넓이

점 $\mathrm{P} ( 3 , 4 )$가 선분 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$의 중점이므로 $\mathrm{A}' ( 6 - 1 , 8 - 2 )$, 즉 $\mathrm{A}' ( 5 , 6 )$ $\mathrm{B}' ( 6 - 5 , 8 - 3 )$, 즉 $\mathrm{B}' ( 1 , 5 )$ 사각형 $\mathrm{ABA}' B'$의 두 대각선 $\mathrm{AA}'$, $\mathrm{BB}'$은 점 $\mathrm{P}$에서 서로 다른 것을 이등분하므로 이 사각형은 평행사변형이고, 넓이는 삼각형 $\mathrm{PAB}$의 넓이의 $4$배이다.

세 점 $\mathrm{P} ( 3 , 4 )$, $\mathrm{A} ( 1 , 2 )$, $\mathrm{B} ( 5 , 3 )$으로 만든 삼각형의 넓이는 $\displaystyle \frac{1}{2} \left| 3 ( 2 - 3 ) + 1 ( 3 - 4 ) + 5 ( 4 - 2 ) \right| = \frac{1}{2} \left| - 3 - 1 + 10 \right| = 3$ 따라서 사각형 $\mathrm{ABA}' B'$의 넓이는 $4 \times 3 = 12$ (확인) 네 점 $\mathrm{A} ( 1 , 2 )$, $\mathrm{B} ( 5 , 3 )$, $\mathrm{A}' ( 5 , 6 )$, $\mathrm{B}' ( 1 , 5 )$의 좌표로 직접 구하면 $\displaystyle \frac{1}{2} \left| ( 1 \times 3 - 5 \times 2 ) + ( 5 \times 6 - 5 \times 3 ) + ( 5 \times 5 - 1 \times 6 ) + ( 1 \times 2 - 1 \times 5 ) \right| = \frac{1}{2} \times 24 = 12$