공통수학2유리함수와 무리함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점대칭 유리함수의 최댓값과 최솟값

문제

함수 y=ax+bx+c\displaystyle y = \frac{a x + b}{x + c}가 점(2,1)( 2 , 1 )에 대하여 대칭이고 점(3,3)( 3 , 3 )을 지난다. 폐구간 [−1,1][ - 1 , 1 ]에서 이 함수의 최댓값을 M,M ,최솟값을 mm이라 하면 3M−m3 M - m의 값은? ①11②22③33④44⑤55

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②

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해설

점 (2,1)( 2 , 1 )에 대하여 대칭이므로 y=ax+bx+c=kx−2+1=x+k−2x−2\displaystyle y = \frac{ax + b}{x + c} = \frac{k}{x - 2} + 1 = \frac{x + k - 2}{x - 2} 점 (3,3)( 3 , 3 )을 지나므로 k=2k = 2이다. 그러므로 y=xx−2\displaystyle y = \frac{x}{x - 2} 폐구간 [−1,1][ - 1 , 1 ]에서 함수는 단조 감소하므로 x=1x = 1에서 최솟값, x=−1x = - 1에서 최댓값을 가진다. M=f(−1)=13,m=f(1)=−1\displaystyle M = f ( - 1 ) = \frac{1}{3} , m = f ( 1 ) = - 1 ∴3M−m=3×13−(−1)=2\displaystyle \therefore 3 M - m = 3 \times \frac{1}{3} - ( - 1 ) = 2

태그

#유리함수#점대칭#최댓값과 최솟값

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