대수삼각함수수능 기출심화 문제 (4점 중반 이후, 킬러 직전)

점 Q 의 x좌표 최대

문제

그림과 같이 두 점 A(−1,0)\mathrm{A} \mathit{\left( - 1 , 0 \right)}, B(1,0)\mathrm{B} \mathit{\left( 1 , 0 \right)}과 원 x2+y2=1x ^{2} + y ^{2} = 1이 있다. 원 위의 점 P\mathrm{P}에 대하여 ∠PAB\angle \mathrm{PAB}=θ= \theta(0<θ<π2)\displaystyle \left( 0 < \theta < \frac{\pi}{2} \right)라 할 때, 반직선 PB\mathrm{PB} 위에 PQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{PQ}}}=3= 3인 점 Q\mathrm{Q}를 정한다. 점 Q\mathrm{Q}의 xx좌표가 최대가 될 때, sin⁡2θ\sin ^{2} \theta의 값은? [4점]

①716\displaystyle \frac{7}{16}②12\displaystyle \frac{1}{2}③916\displaystyle \frac{9}{16}④58\displaystyle \frac{5}{8}⑤1116\displaystyle \frac{11}{16}

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③

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해설

[출제의도] 삼각함수의 정의를 이용하여 삼각함수의 값 구하는 문제 해결하기

∠APB\angle \mathrm{APB}=π2\displaystyle = \frac{\pi}{2}이므로 ∠PBA\angle \mathrm{PBA}=π2−θ\displaystyle = \frac{\pi}{2} - \theta이고, BP‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BP}}}=2sin⁡θ= 2 \sin \theta이므로 BQ‾\displaystyle {\overline{\mathrm{BQ}}}=3−2sin⁡θ= 3 - 2 \sin \theta이다. 따라서 점 Q\mathrm{Q}의 xx좌표는 1+BQ‾×cos⁡(π2−θ)\displaystyle 1 + {\overline{\mathrm{BQ}}} \times \cos \left( \frac{\pi}{2} - \theta \right)=1+(3−2sin⁡θ)sin⁡θ= 1 + \left( 3 - 2 \sin \theta \right) \sin \theta ==1+3sin⁡θ−2sin⁡2θ1 + 3 \sin \theta - 2 \sin ^{2} \theta=−2(sin⁡θ−34)2+178\displaystyle = \mathit{-} 2 \left( \sin \theta - \frac{3}{4} \right) ^{2} + \frac{17}{8} 이므로 sin⁡θ=34\displaystyle \sin \theta = \frac{3}{4}일 때 최대이다. 그러므로 sin⁡2θ\sin ^{2} \theta=916\displaystyle = \frac{9}{16}이다.

태그

#삼각함수#이차함수 최대

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