점 이동 확률 빈칸

점 $\mathrm{P}$가 수직선 위의 원점에 놓여 있다. 한 개의 주사위를 던져 나온 눈의 수가 $6$의 약수이면 점 $\mathrm{P}$를 양의 방향으로 $2$만큼, $6$의 약수가 아니면 음의 방향으로 $1$만큼 움직이는 시행을 반복한다. 점 $\mathrm{P}$의 좌표가 $9$ 이상 또는 $- 4$ 이하가 되거나 시행 횟수가 $6$회가 되면 위 시행을 멈춘다고 할 때, 점 $\mathrm{P}$의 최종 위치의 좌표를 확률변수 $X$라 하자. 다음은 확률변수 $X$의 평균 $\mathrm{E} ( \mathit{X} )$를 구하는 과정이다.

위의 시행을 $5$회 이하로 하게 되는 경우는 $6$의 약수인 눈이 처음부터 연속으로 $5$회 나오거나 $6$의 약수가 아닌 눈이 처음부터 연속으로 $4$회 나오는 경우뿐이다. 확률변수 $X$가 가질 수 있는 값의 최솟값은 $- 4$이고 최댓값은 ${\square {( \text{가} ) _{} ^{}}}$이다. $\mathrm{P} ( \mathit{X} = \mathit{-} 4 ) =$$\displaystyle \left( \frac{1}{3} \right) ^{4}$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} = \mathit{-} 3 ) =$${\square {( \text{나} )}}$$\displaystyle \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{1} \left( \frac{1}{3} \right) ^{5}$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} = 0 ) =$$\displaystyle \left( {} _{6} \mathrm{C} _{2} - 1 \right) \left( \frac{2}{3} \right) ^{2} \left( \frac{1}{3} \right) ^{4}$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} = 3 ) =$$\displaystyle {} _{6} \mathrm{C} _{3} \left( \frac{2}{3} \right) ^{3} \left( \frac{1}{3} \right) ^{3}$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} = 6 ) =$$\displaystyle {} _{6} \mathrm{C} _{4} \left( \frac{2}{3} \right) ^{4} \left( \frac{1}{3} \right) ^{2}$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} = 9 ) =$${\square {( \text{다} )}}$$\displaystyle \times \left( \frac{2}{3} \right) ^{5} \left( \frac{1}{3} \right) ^{1}$ $\mathrm{P} ( \mathit{X} =$${\square {( \text{가} )}}$$\mathrm{)} =$$\displaystyle \left( \frac{2}{3} \right) ^{5}$ 따라서 $\displaystyle \mathrm{E} ( \mathit{X} ) = \frac{1420}{243}$

위의 (가), (나), (다)에 알맞은 수를 각각 $a$, $b$, $c$라 할 때, $a + b + c$의 값은? [4점] ①$17$②$18$③$19$④$20$⑤$21$