대수수열의 합수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

점 이동 규칙 수열

문제

자연수 nn에 대하여 좌표평면 위의 점 Pn(xn,yn)P _{n} ( x _{n} , y _{n} )을 다음 규칙에 따라 정한다.

(가) x1=y1=1x _{1} = y _{1} = 1 (나) {xn+1=xn+(n+1)yn+1=yn+(−1)n(n+1)\displaystyle {\begin{cases} x _{n + 1} = x _{n} + ( n + 1 ) \\ y _{n + 1} = y _{n} + ( - 1 ) ^{n} ( n + 1 ) \end{cases}} (n≥1)( n \geq 1 )

점 QQ는 원점 OO를 출발하여 OP‾1\displaystyle \overline{OP} _{1}을 따라 점 P1P _{1}에 도착한다. 자연수 nn에 대하여 점 PnP _{n}에 도착한 점 QQ는 점 Pn+1P _{n+1}을 향하여 PnPn+1‾\displaystyle \overline{P _{n} P _{n+1}}을 따라 이동한다. 점 QQ는 한 번에 2\displaystyle \sqrt{2}만큼 이동한다. 예를 들어, 원점에서 출발하여 77번 이동한 점 QQ의 좌표는 (7,1)( 7 , 1 )이다. 원점에서 출발하여 5555번 이동한 점 QQ의 yy좌표는? [4점]

①−5- 5②−6- 6③−7- 7④−8- 8⑤−9- 9

정답 보기
①

자료 내려받기

아직 올라온 파일이 없습니다.

해설

점 QQ 는 직선을 따라 한 번에 2\displaystyle \sqrt{2} 만큼 이동하기 때문에 xx방향으로 +1 만큼, yy 축 방향으로 ±1\pm 1 만큼씩 이동한다. OP1‾\displaystyle \overline{OP _{1}} 에서 1회 ,P1P2‾\displaystyle \overline{P _{1} P _{2}} 에서 2회... PnPn+1‾\displaystyle \overline{P _{n} P _{n + 1}} 에서 n+1n + 1 회 이동한다. 따라서 원점에서 출발하여 55번 이동한 QQ 점의 yy 좌표는 1+2+3⋯+101 + 2 + 3 \cdots + 10 합에 의해 P10P _{10} 의 위치로 이동하게 된다. yn+1=yn+(−1)n×(n+1)y _{n + 1} = y _{n} + ( - 1 ) ^{n} \times ( n + 1 ) 에 의해 y10=y1+∑k=19(−1)k×(k+1)=1+{(−2)+3+⋯+(−10)}=−5\displaystyle \begin{aligned} y _{10} = y _{1} + \sum\limits _{k = 1} ^{9} ( - 1 ) ^{k} \times ( k + 1 ) \\ = 1 + \{ ( - 2 ) + 3 + \cdots + ( - 10 ) \} = - 5 \end{aligned}

태그

#수열#규칙

비슷한 문제 더 보기

대수 문제 모음대수 수열의 합 문제 모음수능 문제 모음발전 문제 모음
← 전체 문제 목록으로