공통수학2함수수능 기출발전 문제 (3점 후반~4점 초반)

절댓값의 합의 최솟값으로 n 구하기

문제

f(x)=∣x∣+∣x−1∣+⋯+∣x−2n∣f ( x ) = | x | + | x - 1 | + \cdots + | x - 2 n |의 최솟값이 3030일 때, 자연수 nn의 값을 구하여라.

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해설

절대값 그래프의 성질을 이용하면 x=nx = n에서 함수값이 최소가 된다. f(n)=n+(n−1)+(n−2)+⋯+1+0+1+⋯+(n−1)+nf ( n ) = n + ( n - 1 ) + ( n - 2 ) + \cdots + 1 + 0 + 1 + \cdots + ( n - 1 ) + n =2[1+2+3+⋯+(n−1)+n]= 2 \left[ 1 + 2 + 3 + \cdots + ( n - 1 ) + n \right] =2⋅12n(n+1)\displaystyle = 2 \cdot \frac{1}{2} n ( n + 1 ) 그러므로 n2+n=30n ^{2} + n = 30, n2+n−30=(n+6)(n−5)=0n ^{2} + n - 30 = ( n + 6 ) ( n - 5 ) = 0 따라서, 조건을 만족하는 nn는 55이다.

태그

#절댓값 함수#최솟값

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