절댓값과 이차 연립부등식

[출제의도] 절댓값을 포함한 일차부등식과 이차부등식을 이용하여 연립부등식 이해하기 $x$에 대한 연립부등식 $\displaystyle {\begin{cases} \left| x - n \right| > 2 _{{} _{{} _{{} _{}}}} & {} _{{} _{{} _{{} _{}}}} & \cdots \text{㉠} \\ x ^{2} - 14 x + 40 \leq 0 ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} & {} ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} & \cdots \text{㉡} ^{{} ^{{} ^{}}} \end{cases}}$ 에서 부등식 $\text{㉠}$의 해는 $x < n - 2$ 또는 $x > n + 2$이다. 이차부등식 $\text{㉡}$의 해는 $x ^{2} - 14 x + 40 = \left( x - 4 \right) \left( x - 10 \right) \leq 0$에서 $4 \leq x \leq 10$이다. (ⅰ) $n \leq 5$ 또는 $n \geq 9$인 경우 ① $n \leq 5$인 경우

② $n \geq 9$인 경우

두 부등식 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$을 동시에 만족시키는 자연수 $x$의 개수는 $3$이상이다. (ⅱ) $n = 6$인 경우

부등식 $\text{㉠}$은 $\left| x - 6 \right| > 2$이므로 해는 $x < 4$ 또는 $x > 8$이다. 두 부등식 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$을 동시에 만족시키는 자연수는 $9$, $10$이다. (ⅲ) $n = 7$인 경우

부등식 $\text{㉠}$은 $\left| x - 7 \right| > 2$이므로 해는 $x < 5$ 또는 $x > 9$이다. 두 부등식 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$을 동시에 만족시키는 자연수는 $4$, $10$이다. (ⅳ) $n = 8$인 경우

부등식 $\text{㉠}$은 $\left| x - 8 \right| > 2$이므로 해는 $x < 6$ 또는 $x > 10$이다. 두 부등식 $\text{㉠}$, $\text{㉡}$을 동시에 만족시키는 자연수는 $4$, $5$이다. 따라서 (ⅰ), (ⅱ), (ⅲ), (ⅳ)에 의해 자연수 $n$의 값은 $6$, $7$, $8$이므로 모든 자연수 $n$의 값의 합은 $21$이다.