절댓값 삼차함수와 실근

두 다항식 $P _{1} \left( x \right)$, $P _{2} \left( x \right)$를 $P _{1} \left( x \right) = g \left( x \right) - 4 x - 26$, $P _{2} \left( x \right) = g \left( x \right) + 2 x ^{3} - 14 x ^{2} + 12 x + 6$이라 하면 $P _{1} ( x ) = - P _{2} ( x )$ 즉, $P _{1} \left( x \right) + P _{2} \left( x \right)$$= 0$ 따라서 $g \left( x \right) = - x ^{3} + 7 x ^{2} - 4 x + 10$, $\displaystyle \left| f \left( x \right) \right| = {\begin{cases} - \left( x ^{3} - 7 x ^{2} + 8 x + 16 \right) & \left( x \leq a \right) \\ x ^{3} - 7 x ^{2} + 8 x + 16 & \left( x > a \right) \end{cases}}$ $g ( x )$의 최고차항의 계수가 음수이므로 $f ( x ) = x ^{3} - 7 x ^{2} + 8 x + 16 = ( x + 1 ) ( x - 4 ) ^{2}$이고 $a = - 1$이다. 함수 $h \left( x \right) = f \left( x \right) - \left( x - k \right) ^{2}$라 하면 함수 $h \left( x \right)$의 극값이 존재해야 하므로 방정식 $h' \left( x \right)$$= 3 x ^{2} - 16 x + \left( 8 + 2 k \right) = 0$에서 판별식을 $D$라 하면 $D / 4 = 64 - 3 \left( 8 + 2 k \right) > 0$ $\displaystyle k < \frac{20}{3}$ 이므로 $k$는 $6$이하의 자연수이다. ⅰ) $k =$$1$, $2$, $3$, $5$일 때 $h ( - 1 ) = - ( k + 1 ) ^{2} < 0$ $h ( 1 ) = 18 - ( 1 - k ) ^{2} > 0$ $h ( 4 ) = - ( 4 - k ) ^{2} < 0$ $h ( 6 ) = 28 - ( 6 - k ) ^{2} > 0$ 사이값 정리에 의하여 삼차방정식 $h ( x ) = 0$의 실근이 열린 구간 $( - 1 , 1 )$, $( 1 , 4 )$, $( 4 , 6 )$에 각각 하나씩 존재한다. ⅱ) $k = 4$일 때, $h \left( x \right) = \left( x + 1 \right) \left( x - 4 \right) ^{2} - \left( x - 4 \right) ^{2} = x \left( x - 4 \right) ^{2}$ 이므로 함수 $h ( x )$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 두 점에서 만난다. ⅲ) $k = 6$일 때, 극댓값 $h \left( 2 \right) = - 4 < 0$이므로 함수 $h ( x )$의 그래프가 $x$축과 한 점에서 만난다. ⅰ), ⅱ), ⅲ)에 의하여 함수 $h ( x )$의 그래프가 $x$축과 서로 다른 세 점에서 만나도록 하는 자연수 $k$의 값은 $1 , 2 , 3 , 5$이다. 따라서 구하는 모든 자연수 $k$의 값의 합은 $11$